زمرة تبديلات

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\\sigma (x_{1})&\sigma (x_{2})&\sigma (x_{3})&\cdots &\sigma (x_{n})\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}};}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}3&2&5&1&4\\4&5&1&2&3\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}\quad {\text{ و }}\quad Q={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&2&1\end{pmatrix}},}$

الجداء QP هو:

${\displaystyle QP={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&4&1&3&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}}.}$

لتكن المجموعة التالية G₁ لتبديلات المجموعة M = {1,2,3,4}:

• e = (1)(2)(3)(4) = (1)، هذه هي التبديلة المطابقة. إنها تربط كل عنصر بنفسه.
• a = (1 2)(3)(4) = (1 2)، هذه التبديلة تربط الواحد باثنين والاثنين بواحد وتترك الثلاثة والأربعة ثابتتين.
• b = (1)(2)(3 4) = (3 4)، هذه التبديلة تشبه التبديلة السابقة. إنها تترك الواحد والاثنين ثابتين وتربط الثلاثة بأربعة، والأربعة بثلاثة.
• ab = (1 2)(3 4)، هذه التبديلة هي تركيب للتبديلتين السابقتين. إنها تربط الواحد باثنين والاثنين بواحد والثلاثة بأربعة والأربعة بثلاثة.

انبثقت دراسة الزمر من فهم لزمر التبديلات. التبديلات ذاتها، درسن بشكل مكثف من طرف عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف لوي لاغرانج في عام 1770، أثناء عمل له حول الحلحلة الجبرية للمعادلات الحدودية. تطور هذا الموضوع، وفي منتصف القرن التاسع عشر، وُجدت نظرية متطورة بشكل جيد لنظرية التبديلات، كان قد صنفها كامي جوردان في كتاب له عنوانه كتاب التبديلات والمعادلات الجبرية (Traité des Substitutions et des Équations Algébriques) نشره في عام 1870. اعتمد كتاب جوردان بدوره على الأوراق التي تركها إيفاريست غالوا في عام 1832.

انظر إلى ويليام برنسايد.

• بوابة جبر