منحنى إهليلجي

تبيان المنحنيين ${\displaystyle \scriptstyle y^{2}\;=\;x^{3}\,-\,x}$ و ${\displaystyle \scriptstyle y^{2}\;=\;x^{3}\,-\,x\,+\,1}$

التعريف الأصلي للمنحنى الإهليجي يتطلب خلفية في الهندسة الجبرية، من الممكن وصف بعض خصائص المنحنيات الإهليجية المعرفة على الأعداد الحقيقية باستخدام فقط مقدمة في الجبر والهندسة.

في هذا السياق، منحنى إهليلجي هو منحنى مستو معرف بالمعادلة التالية:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b\,}$

حيث a و b عددان حقيقيان. تسمى هاته المعادلة معادلة فايرشتراس.

تعريف المنحنى المستو يتطلب أيضا أن يكون المنحنى غير منفرد. هندسيا هذا يعني أن المنحنى لا يحتوي على أي رؤوس مدببة (cusps)، لا يقطع نفسه، ولا يحتوي نقاط معزلة، جبريا هذا يتحقق عندما لا يساوي المميز صفر.

يحسب مميز المنحنى كما يلي:

${\displaystyle \Delta =-16(4a^{3}+27b^{2}).}$

ينبغي أن يكون هذا المميز مختلفا عن الصفر.

المنحنى الحقيقي لمنحنى غير مفرد يتكون من جزئين إذا كان المحدد موجبا ومن جزء واحد إذا كان المحدد سالبا، انظر للمنحنيين في الرسمة المقابلة المنحنى المكون من جزئين محدده يساوي 64 والمنحنى المكون من جزء واحد محدده يساوي -368

عند العمل داخل مستوى اسقاطي يمكننا أن نعرِّف بناء لزمرة على أي منحنى مكعب ناعم، في صيغة فايرشتراس المنحنى سيحتوي على نقطة إضافية تسمى النقطة عند المالانهاية O، التي إحداثياتها المتجانسة [0:1:0] والتي ستكون عبارة عن العنصر المحايد للزمرة.

بما أن المنحنى متماثل حول محور السنات، لأي نقطة P معطى نستطيع أخذ النقطة P- لتكون النقطة المقابلة لها، وبما أن O هي العنصر المحايد فإن O- هي نفسها O.

إذا كان P و Q نقطتان على المنحنى، نستطيع بشكل مميز وصف نقطة ثالثة P + Q على النحو التالي: أولا ارسم خطا يقطع النقطتين P و Q، هذا الخط سيقطع المنحنى المكعب في نقطة ثالثة R سنأخذ R- لتكون ناتج P + Q التي هي النقطة المقابلة ل R

هذا التعريف للجمع يعمل عند جميع النقاط عدا بعض الحالات الخاصة المتعلقة بالنقطة عند المالانهاية والتقاطعات المتعددة. أول حالة عندما تكون أحد النقاط O، حسب تعريف قاعدة الزمرة نعلم أن P + O = P = O + P حيث O هو العنصر المحايد في الزمرة الآن إذا كانت P و Q متقابلتين فإننا نعرف P + Q = O أيضا إذا كانت P = Q فإنه يوجد عندنا نقطة واحدة لذلك لا نستطيع تعريف خط بدون وجود نقطتين فإننا نلجأ إلى الخط المماس للمنحنى عند تلك النقطة على أنه الخط الذي من خلاله نستطيع إيجاد حاصل الجمع، في أغلب الأحيان سيقطع الخطط المماس لنقطة على المنحنى، المنحنى عند نقطة أخرى ونأخذ النقطة المقابلة لها، بيد أنه إذا كانت P هي نقطة انعطاف فإننا سنأخذ R = P وبالتالي تصبح P + P ببساطة النقطة المقابلة لنفسها.

في المنحنى المكعب الذي ليس على صيغة فايرشتراس نستطيع أن نعرف زمرة عليه عن طريق تعيين واحدة من نقاط الانعطاف التسعة على أنها العنصر المحايد، في المستوى الإسقاطي كل خط سوف يقطع المنحنى امعكب في ثلاث نقاط عند وضع التكرارات بعين الاعتبار. لأي نقطة P النقطة P- معرفة على أنها النقطة المحددة الثالثة على الخط المار بO و P لذلك لأي نقطتين P و Q فأن P + Q معرفة على أنها R- حيث R هي النقطة الثالثة المميزة على الخط الذي يحوي P و Q.

لنفرض K هو الحقل الذي معرف عليه المنحنى (بمعنى أن المعاملات في المعادلة الخاصة بالمنحى هي عناصر من الحقل K) ولنسمي المنحنى E. فإن النقاط النسبية من K للمنحنى E، أعني (K-rational points of E) هي النقاط على المنحنى E اتي تقع احداثياتها في K بما في ذلك النقطة عند المالانهاية مجموعة النقاط النسبية من K ل E سنرمز لها بالرمز E(K) وهي أيضا تشكل زمرة وذلك لأن خصائص معادلات كثيرات الحدود تظهر لنا أنه إذا وجد P في E(K) فأن P- ستتواجد أيضا في E(K) وإذا وجد نقطتان من النقاط الثلاثة P,Q and R في E(K) ف بكل تأكيد ستتواجد النقطة الثالة في E(K)، إضافة إلى ذلك إذا كانت K حقل جزئي من L فإن E(K) ستكون زمرة جزئية من E(L).

الزمرة المعرفة مسبقا يمكن تمثيلها جبريا وهندسيا، للمنحنى الإهليجي المعرف على الحقل K بالقاعدة y² = x³ + ax + b (و سنفرض أن مححده لن يساوي 2 أو 3) والنقاط P = (x_P,y_P) و Q = (x_Q,y_Q) على المنحنى لنفرض أولا أن x_P ≠ x_Q. لنفرض أن y = sx + d هو الخط الذي يقطع P و Q بالتالي فإن ميله سيساوي:

${\displaystyle s={\dfrac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}}$

بما أن K حقل فإن s معرفة، معادلة الخط ومعادلة المنحنى يحتويان على على نفس y في النقاط x_P, x_Q and x_R

${\displaystyle (sx+d)^{2}=x^{3}+ax+b}$

و التي تكافئ ${\displaystyle 0=x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+ax+b-d^{2}}$ ونحن نعلم أن جذور هذه المعادلة هي نفس قيم x كما في المعالدة التالية:

${\displaystyle (x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+x^{2}(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})}$

بمساواة المعاملات ل x² وحل المعادلة بالنسبة إلى x_R , y_R من معادلة الخط ينتج أن

${\displaystyle R=(x_{R},y_{R})=-(P+Q)\;\;\&}$

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}}$

${\displaystyle y_{R}=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})}$

إذا كانت x_p = x_q فإنه يوجد خياران إما أن y_P = -y_Q إضافة إلى ذلك الحالة عندما y_P = y_Q = 0 فإن الجمع معرف على أنه 0، فينتج أن المعكوس لكل نقطة على المنحنى هو انعكاس النقطة مع محور السنات. إذا كانت y_P = y_Q ≠ 0 فإن Q = P و R = (x_R,y_R) = -(P+P) = -2P = -2Q يعطي بالعلاقة التالية:

${\displaystyle s={\dfrac {3x_{P}^{2}+a}{2y_{P}}}}$

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-2x_{P}}$

${\displaystyle y_{R}=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})}$

يمكن تعريف الحقول الإهليجية على أي حقل K التعريف الرسمي للمنحنى الإهليجي هو منحنى إساقطي جبري غير مفرد على حقل K مع فتحة واحدة ويحتوي على نقطة مميزة معرفة على الحقل K

إذا لم يكن محدد الحقل 2 أو 3 فإن أي منحنى إهليجي على K يمكن كتابته على شكل:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}$

بعد عمل تغييرات خطية للمتغيرات، لاحظ هنا أن p و q هي عناصر من K والشرط على الطرف الأيمن لكثير الحدود ألا يحتوي على جذر مكرر، لو كان محدد الحقل 2 أو 3 فأن بعض العوامل لا يمكن اختصارها كما في المعادلة السابقة والنتيجة على سبيل المثال في حالة المحدد يساوي 3:

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}}$

حيث b₂,b₄ and b₆ هي ثوابت ولاحظ أن كثير الحدود في الطرف الأيكن يحتوي على جذور منفصلة (تم اعتماد هذه الصيغة تبعا لاسباب تاريخية) وفي حالة المحدد يساوي 2 ستكون الصيغة:

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a^{6}}$

علما أنه المنحنى المعرف بهذه الصيغة ليس مفرد، إذا لم يكن المحد عائقا فإن كل معادلة يمكن اختزالها إلى المعادلة ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}$ عن طريق التغيير الخطي للمتغيرات المناسب.

يكون المنحنى الإهليجي مجموعة النقاط (x,y) التي تحقق المعادلة المذكورة بحيث أن x و y عناصر من الانغلاق الجبر للحقل K. النقاط على المنحنى التي تنتمي إحداثياتها جميعها إلى الحقل K تسمى k-rational points.

لمزيد من القراءة انظر: Isogeny

لنفرض أن E و D هما منحنيين إهليجيين معرفان على الحقل K، الايزوجيني بين E و D هو اقتران احتفاظ محدود للشكل بمعنى:

finite morphism ${\displaystyle f:E\rightarrow D}$ of varietes

الذي يحفظ النقاط الأساسية (basepoints) بعبارة أخرى الاقتران الذي يربط نقطة معطى على E بنقطة على D.

تستعمل المنحنيات الإهليلجية عبر الحقول المنتهية في بعض تطبيقات التعمية كما تستعمل في تعميل الأعداد الصحيحة. عادة الفكرة العامة في هذه التطبيقات هو أن الخوارزمية المعلومة والتي تستخدم زمرة منتهية معينة يمكن كتابتها لاستخدام الزمر من الأعداد الجذرية من المنحنيات الإهليجية، للمزيد انظر

• التعمية باستعمال المنحنيات الإهليلجية
• المنحنى الإهليجي لديفي هيلمان لتبادل الشيفرة
• تحليل الاعداد الصحيحة باستخدام المنحنى الإهليجي الخاص بلينسترا
• خوارزمية التوقيع الرقمي بالمنحنيات الإهليجية

• منحنى إدواردز
• منحنى مونتغوميري،
• منحنى جاكوبي

• سطح إهليلجي

• بوابة رياضيات