زمرة متناظرة

${\displaystyle f=(1\ 3)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.}$

من أجل التحقق من أن الزمرة المتماثلة المعرفة على مجموعة X ما، هي فعلا زمرة، لا بد من التحقق من أن الموضوعات الأربعة المعرفة للزمر محققة من انغلاق وتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس. .[4]

1. عملية تركيب الدوال منغلقة في مجموعة التبديلات المطبقة على عناصر X.
2. تركيب الدوال دائما تجميعي.
3. التقابل البديهي الذي يربط كل عنصر من X بنفسه يلعب دور العنصر المحايد للزمرة.
4. لكل تقابل تقابلٌ عكسي يلغي العمل الذي قام به. وبذلك، كل عنصر من الزمرة المتماثلة تبديلةً، له عنصر عكسي يقابله، تبديلةً هو الآخر.