تبديل (رياضيات)

يراد سحب كرتين على التوالي من صندوق أسود يحوي أربع كرات ملونة سوداء وزرقاء وحمراء وصفراء. المطلوب حساب عدد الاحتمالات الممكنة لنتيجة السحب.

كون السحب يتم على التتالي فان هناك أهمية للترتيب لأنه إذا كانت الكرة الأولى على سبيل المثال سوداء والثانية حمراء هذه النتيجة تختلف عن الحالة التي يكون فيها الكرة الأولى حمراء والثانية سوداء. بتطبيق القانون نحصل على عدد الاحتمالات الممكنة ت (2,4)=4!\(4-2)!=4×3×2×1 /2×1 = 12 احتمال ممكن و هي بالتفصيل كالتالي: (سوداء، حمراء) (حمراء، سوداء) (زرقاء، سوداء) (صفراء، سوداء) (سوداء، زرقاء) (حمراء، زرقاء) (زرقاء، حمراء) (صفراء، حمراء) (سوداء، صفراء) (حمراء، صفراء) (زرقاء، صفراء) (صفراء، زرقاء).

يستخدم رمزكوشي [4]صفين بحيث يتم وضع عناصر المجموعة بالصف الأول بينما صور كل من هذه العناصر توضح مباشرة اسفله بالصف السفلي. فمثلا، التبديلة للمجموعة ${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5\}}$ يمكن كتابتها كما يلي: ${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}};}$

وهذا يعني أن σ تحقق ما يلي: σ(1)=2 و σ(2)=5 و σ(3)=4 و σ(4)=3 و σ(5)=1. تظهر عناصر المجموعة ${\displaystyle S}$ بأي ترتيب في الصف الأول. فبالتالي يمكن كتابة هذه التبديلة بطريقة أخرى كالتالي

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}3&2&5&1&4\\4&5&1&2&3\end{pmatrix}}}$.

في حالة وجود ترتيب طبيعي لعناصر المجموعة ${\displaystyle S}$ [arabic-abajed 1]ولتكن ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ فإنه يمكن وضعها بالصف الأول من الترميز بصفين بشكل عام كالتالي:

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}\\\sigma (x_{1})&\sigma (x_{2})&\sigma (x_{3})&\ldots &\sigma (x_{n})\end{pmatrix}}}$.

وبما أن عناصر المجموعة ${\displaystyle S}$ تتخذ ترتيبا طبيعيا فإنه من الممكن حذف الصف الأول واستخدام التبديلة بترميز صف واحد كما يلي

${\displaystyle (\sigma (x_{1})\,\,\sigma (x_{2})\,\,\sigma (x_{3})\,\,\ldots \sigma (x_{n}))}$

كما في ترتيب عناصر المجموعة ${\displaystyle S}$.[5][6] يجب التفريق هنا بين الترميز بصف والترميز الدائري الذي سيوضح بالأسفل. فمن الشائع بالدراسات الرياضية حذف الأقواس بترميز بصف واحد بينما تستخدم الأقواس في الترميز الدائري. يسمى أيضا الترميز بصف واحد بممثل الكلمة (word) في أي تبديلة.[7] ففي المثال السابق يمكن كتابة التبديلة بالشكل ${\displaystyle 2\,\,5\,\,4\,\,3\,\,1}$ حيث أن ${\displaystyle 1\,\,2\,\,3\,\,4\,\,5}$ تشكل ترتيب طبيعي للصف الأول. يستخدم هذا الرمز بالتراكيب وعلوم الحاسب خصوصا بالتطبيقات التي بها عناصر ${\displaystyle S}$ أو التبديلات كبيرة أو صغيرة نوعا ما.

يمكن وصف الترميز الدائري بالتأثير المكرر للتبديلة على عناصر المجموعة. فهي تبين التبديلة كحاصل ضرب دوائر. وحيث أن هذه الدوائر منفصلة فإنها توصف بـ "decomposition into disjoint cycles".[arabic-abajed 2]

لكتابة التبديلة ${\displaystyle \sigma }$ بالترميز الدائري فإننا نتبع الخطوات التالية:

1. نبدأ بكتابة قوس مفتوح ونختار أي عنصر ${\displaystyle x}$ من المجموعة ${\displaystyle S}$ ونكتبه كأول عنصر: ${\displaystyle (x}$
2. بعد ذلك نتابع التأثير المتتابع للتبديلة عالعنصر السابق ونكتبه كما يلي: ${\displaystyle (x\quad \sigma (x)\quad \sigma (\sigma (x))\ldots }$
3. نكرر هذه الخطوات حتى الوصول لنفس العنصر الذي بدأنا به ${\displaystyle x}$ بالتالي نغلق الأقواس بدون تكرار كتابة ${\displaystyle x}$ : ${\displaystyle {\displaystyle (x\quad \sigma (x)\quad \sigma (\sigma (x))\ldots })}$
4. لنواصل الآن باختيار عنصر آخر${\displaystyle y\in S}$ لم يسبق كتابته بالدائرة الأولى ونكرر نفس الخطوات هنا مع هذا العنصر: ${\displaystyle (x\quad \sigma (x)\quad \sigma (\sigma (x))\ldots )(y\ldots }$
5. نكرر هذه الخطوات حتى يتم كتابة جميع عناصر${\displaystyle S}$ بالدوائر.

حيث أن كل دائرة جديدة تبدأ باختيار عنصر عشوائي من ${\displaystyle S}$ فإنه يوجد طرق مختلفة لكتابة تبديلة ما بالترميز الدائري، ففي نفس المثال المذكور سابقا يمكن كتابة التبديلة كالتالي:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&1&2\end{pmatrix}}.}$

نلاحظ أيضا انه يتم حذف الدائرة التي بها عنصر واحد والتي يكون واضحا دون الحاجة لكتابته، فأي عنصر ${\displaystyle x}$ لايظهر بأي دائرة بالترميز الدائري فهذا يعني أن ${\displaystyle \sigma (x)=x}$.[8] في تبديلة الوحدة والتي تتكون من دوائر بعنصر واحد يمكن كتابتها بدائرة واحدة بعنصر واحد ${\displaystyle (x)}$ [arabic-abajed 3]، العنصر رقم أو بواسطة الرمز ${\displaystyle \mathbb {id} }$.[9][10]

من ضمن مميزات استخدام الترميز الدائري فإنه يسهل كتابة معكوس أي تبديلة بشكل أسهل بواسطة عكس ترتيب عناصر التبديلة بكل دوائره. فعلى سبيل المثال:

${\displaystyle [(\,1\,2\,5\,)(\,3\,4\,)]^{-1}=(\,5\,2\,1\,)(\,4\,3\,)}$ .

في بعض الكتابات المختصة بالتراكيب فإنه من المهم استخدام ترتيب ثابت لعناصر أي دائرة بالترميز الدائري. فوضح الباحث Miklós Bóna أنه يوجد نوعين من الترتيب في الترميز الدائري التدريجي وهما:

• بكل دائرة يتم البدء بأكبر عنصر بالمجموعة ${\displaystyle S}$ بأول دائرة.
• ترتب الدوائر بشكل متزايد بالنسبة لأول عنصر بكل منها.

فعلى سبيل المثال التبديلة بالشكل ${\displaystyle (3\,\,1\,\,2)(5\,\,4)(8)(9\,\,7\,\,6)}$ هي بالرمز الدائري التدريجي.[11] بهذا الترميز لايتم حذف الدوائر ذوات العنصر الواحد. استخدم العالم Sergey Kitaev نفس المفهوم لكن بشكل عكسي حيث يتم ترتيب الدوائر بالبدء بالدائرة ذات العنصر الأصغر وترتيب بقية الدوائر بشكل متناقص حسب العنصر الأول بكل دائرة.[12]

توجد طريقتان لكتابة تركيب أي تبديلتين. يستخدم الرمز لتمثيل دالة تطبق من أي عنصر${\displaystyle x\in S}$ إلى العنصر ${\displaystyle \sigma (\pi (x))}$. فالتبديلة التي بالطرف الأيمن تطبق أولا على العنصر.[13] وحيث أن عملية تحصيل الدوال هي عملية تجميعية فإن عملية تحصيل التبديلات هي أيضا تجميعية أي أن: ${\displaystyle (\sigma \pi )\tau =\tau (\sigma \pi )}$. فبالتالي يمكن إيجاد تحصيل أي أكثر من تبديلتين باستخدام خاصية التجميع والاستعانة بالأقواس. من الممكن أيضا كتابة تحصيل التبديلات بدون نقطة بينهم أو أي علامة لتوضيح عملية التحصيل.

يفضل بعض الباحثين تطبيق تأثير التبديلة التي بالطرق الأيسر أولا[14][15][16] ، لكن في هذه الحالة تُكتب عملية التحصيل بشكل أسس فمثلا لتمثيل تأثير ${\displaystyle \sigma }$ على ${\displaystyle x}$ يكتب بالشكل ${\displaystyle x^{\sigma }}$، والتحصيل بهذه الحالة يكتب بالشكل ${\displaystyle x^{\sigma \pi }=(x^{\sigma })^{\pi }}$. لكن هذا التحصيل يعطي نتيجة مختلفة عن التحصيل المعرف سابقا والذي يطبق التبديلة اليمنى أولا.