جبر

يوجد لذلك الوصف نفس الاختلاف:

• بدون المادة. تعني جزء من علم الجبر، مثل الجبر الخطي، الجبر الابتدائي (قواعد معالجة-الرموز التي تدرس في مناهج الرياضيات كجزء من التعليم الأساسي والتعليم الثانوي) أو الجبر المجرد (دراسة الهياكل الجبرية مع المادة).
• فهذا يعني إنه مثيل لبعض التراكيب المجردة، مثل جبر تبادلي أو الجبر الترابطي.
• كما هو الحال في الجملة: الجبر التبادلي هو دراسة الحلقات، الحلقات التبادلية، التي تعرف كلها بالجبر التبادلي على الأعداد الصحيحة.

مصطلح علم الجبر أحياناً يستخدم للدلالة على عمليات وأساليب جبرية بينما الهيكل أو البنية الأساسية لها لا تتعلق بعلم الجبر. على سبيل المثال، الجبر هو سلسلة لا نهائية من الممكن أن تدل على سلسلة من الأساليب الحاسوبية دون استخدام مفاهيم لا نهائية من الجمع، الحدود والتقارب. الصفة "جبري" عادة تعني ما يتعلق بالجبر، كما في الهيكل الجبري . ولأسباب تاريخية، قد تعني أيضاً العلاقة بجذور معادلات متعددة الحدود، كما في العدد جبري، والامتداد جبري أو التعبير جبري

إن أهم ما يُعرف به علم الجبر هو تشابه عملياته الحسابية بالعمليات الحسابية البسيطة، إلا أن الفرق أنه يتضمن متغيرات رياضية غير معروفة القيمة. هذه المتغيرات تمثّل أرقامًا لم تُعرف بعد (مجهولة) أو أرقامًا غير محددة (متغير أو مُعامل)،[4] مما يسمح للفرد أن يُثبت صحة هذه الخصائص بغض النظر عن الأرقام محل النظر. مثلًا في هذه المعادلة التربيعية التالية:

أ س ² + ب س + ج = 0

أ وَ ب وَ ج مجاهيل وَ س مُعامل. وحل هذه المعادلة يتطلب حساب المجاهيل والتعبير عن قيمة المُعامل حساب علاقته بالمجاهيل، وبهذا يتم إعطاء حل للمعادلة المعينة بعد القيام بعمليةٍ حسابية بسيطة.

كما تطور علم الجبر فقد توسع إلى أشياء أخرى غير عددية، مثل المتجهات والمصفوفات أو متعددة الحدود. ثم تم تلخيص الخصائص الهيكلية لهذه الأشياء غير العددية لتحديد الهياكل الجبرية مثل المجموعات، ودوائر والحقول والجبر. قبل القرن السادس عشر، تم تقسيم الرياضيات إلى قسمين فرعيين فقط هما الحساب والهندسة. على الرغم من بعض الأساليب التي وضعت في وقت قبل ذلك بكثير، ويمكن النظر لها في الوقت الحاضر كالجبر فإن ظهور الجبر بعد ذلك بوقت قصير، وحساب التفاضل والتكامل كحقول فرعية صغيرة للرياضيات يعود فقط للقرن 16 أو 17. أو من النصف الثاني من القرن 19 على الأقل، ظهرت العديد من المجالات الجديدة للرياضيات، وبعضها شملت علم الجبر، إما كلياً أو جزئياً.

ويتبع ذلك أن الجبر بدلاً من أن يكون فرعاً من فروع الرياضيات، أصبح هذه الأيام مجموعة من فروع طرق المشاركة الشائعة. وهذا يُرى بشكل واضح في تصنيف مواضيع الرياضيات [5] حيث ولا واحد من مناطق المستويات الأولى (مدخلات الأعداد الثنائية) تسمى الجبر. في الحقيقة الجبر على وجه التقريب، هو اتحاد أقسام 08-أنظمة الجبر العامة و12- نظرية الحقول ومتعددات الحدود و 13- الجبر التبادلي و 15-الجبر الخطي والمتعدد الخطي ؛نظرية المصفوفات و 16-الحلقات الترابطية والجبر و 17-الحلقات الغير ترابطية والجبر و18- نظرية التصنيف الجبر التماثلي و19-نظرية كاي و20- نظرية المجموعة. بعض مناطق المستوى الأول ربما تعتبر أنها تنتمي إلى الجبر بشكل جزئي مثل 11-نظرية الأعداد (بشكل عام لنظرية العدد الجبري) و 14-الهندسة الجبرية.

الجبر الابتدائي هو جزء من الجبر الذي عادة يدرس في الصفوف الأولية للرياضيات. الجبر المجرد هو اسم يعطى عادة لدراسة مؤسسي الجبر أنفسهم.

بداية الجبر كمجال من الرياضيات قد تكون بدايتها في نهاية القرن السادس عشر، مع عمل فرانسوا فييت . ومع ذلك يمكن اعتبار بعض الأعمال في وقت سابق بأنها الجبر وتعتبر عهد ما قبل التاريخ من علم الجبر.

عصور ما قبل التاريخ من الجبر

الصفحة الأولى من الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة للخوارزمي

يمكن تتبع جذور علم الجبر إلى قدماء البابليين [6]، الذين طوروا نظاماً حسابياً متقدماً كان قادراً على القيام بعمليات حسابية بطريقة خوارزمية. فطور البابليون الصيغ لحساب الحلول لمسائل تُحل عادةً اليوم باستخدام المعادلات الخطية والمعادلات التربيعية والمعادلات الخطية غير المحددة. وعلى النقيض من ذلك، فإن معظم المصريين في ذلك العصر، وكذلك بالرياضيات اليونانية والصينية في الألفية الأولى قبل الميلاد، تحل عادةً مثل هذه المعادلات بالطرق الهندسية، مثل تلك التي وصفت في بردية ريند الرياضية وأصول أقليدس والفصول التسعة في الفن الرياضي. وفر العمل الهندسي لليونانيين، متميزاً بالعناصر، إطاراً لتعميم الصيغ ما وراء حل مسائل معينة إلى أنظمة أكثر عمومية من صياغة وحل المعادلات، وعلى الرغم من أن هذا لم يلاحظ حتى تطورت الرياضيات في العصور الوسطى من الإسلام.[7]

خضعت الرياضيات الإغريقية لتغير جذري في عصر أفلاطون. أنشأ الإغريق الجبر الهندسي حيث مثلت المصطلحات من جوانب الأشكال الهندسية، وكما جرت العادة بالخطوط التي كانت تحتوي على حروف مرتبطة بها.[4] ديوفانتوس الإسكندري (القرن الثالث ميلادي)، يسمى أحياناً "والد الجبر" ، كان عالم رياضيات إغريقياً إسكندريا ومؤلف سلسلة من الكتب تسمى ارثميتكا .تبحث كتبه في حل المعادلات الجبرية.[8] تأتي كلمة الجبر من اللغة العربية (الجبر بمعنى الترميم أو الاستعادة) وكما تأتي الكثير من أساليبها من الرياضيات العربية/ الإسلامية. أثرت التقاليد التي نوقشت في أعلاه بشكل مباشر على محمد بن موسى الخوارزمي (عام 780-850). لاحقاً، ألف كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة، الذي أنشأ علم الجبر كتخصص رياضيات مستقل عن الهندسة وعلم الحساب.[9]

أكمل عالما الرياضيات الهيلينستيان هيرو السكندري وديوفانتس[10] مثلهم مثل العلماء الهنود في الرياضيات كبراهماغوبتا تعاليم المصريين والبابليين على الرغم من اعتبار كتابي أرثمتكا لديفانتوس والسيد هانتالبراهماغوبتا بمستوى أعلى.[11] فعلى سبيل المثال، تم وصف حل أول مسألة حسابية كاملة (مشتملة الصفر والقيمة السالبة) إلى المعادلات التربيعية من قبل براهماغوبتا في كتابه سيندهانتا. لاحقاً طور الرياضيون العرب والمسلمون طرق جبر تصل مستويات عليا من الدقة والإتقان. وعلى الرغم من أن ديفانتوس والبابليون استخدموا معظم الطرق الخاصة في حل المعادلات، كان لمساهمة الخوارزمي السبق الأساسي بذلك. فلقد حل الخوارزمي المعادلات الخطية والتربيعية بدون الحاجة لرمزية الجبر والأعداد السالبة أو الصفر، ومن ثم قام بتمييز العديد من المعادلات التربيعية.[12] عُرف عالم الرياضيات الاغريقي ديوفانتوس تاريخياً بلقب "والد الجبر"، ولكن برزت في الآونة الأخيرة نقاشات كثيرة حول ما إذا كان الخوارزمي (مؤسس علم الجبر) يستحق هذا اللقب بدلاً عن ديوفانتوس.[13] حيث يشير مؤيدي ديوفانتوس إلى حقيقة أن علم الجبر المبتكر من قبل الخوارزمي أكثر بدائية مقارنة بالموجود في "أريثميتيكا"، وأن "أريثميتيكا" يتبع منهجية الاختصار بينما الجبر بلاغي تماماً.[14] في حين يشير مؤيدي الخوارزمي إلى حقيقة أنه أدخل منهجية "التبسيط" و"الموازنة" (نقل التعابير السالبة إلى الجانب الآخر من المعادلة، أو بعبارة أخرى، حذف التعابير المتشابهة من كلا أطراف المعادلة) وهي المنهجية المعبر عنها في الأصل بكلمة "الجبر"[15]، كما أنه أعطى شرحاً مفصلاً عن حل المعادلات التربيعية[16]، مدعماً بالبراهين الهندسية، بينما عامل علم الجبر كعلم مستقل بذاته.[17] كما أن "جبر" الخوارزمي ليس معني "بسلسلة من المسائل الرياضية التي يجب حلها، بل بعرضٍ يبدأ بتعابير بدائية، تعطي تركيباتهم جميع النماذج المحتملة للمعادلات، التي، من الآن فصاعداً، ستشكل بوضوح موضوع الدراسة الحقيقي". درس الخوارزمي أيضاً المعادلة لذاتها و"بشكل عام، لم يكتف ببساطة وجود المعادلة في سياق حل المسألة، بل باستخدامها خصيصاً لتعريف فئة من المسائل اللانهائية.[18]

نسب الفضل لعالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام في تحديد أسس الهندسة الجبرية وإيجاد الحل الهندسي العام للمعادلة التكعيبية. كما أوجد عالم رياضيات فارسي آخر يدعى شرف الدين الطوسي مجموعة من الحلول الجبرية والعددية لحالات مختلفة من المعادلات التكعيبية[19]، بالإضافة إلى أنه طور مفهوم الدوال.[20] علماء الرياضيات الهنديان مهافيرا وبهاسكارا الثاني، والفارسي الكرخي

[21]، والصيني تشو شي جيه، قاموا بإيجاد حلول لحالات مختلفة من معادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة والخامسة، والمعادلات كثيرة الحدود باستخدام الطرق العددية. في القرن الثالث عشر، اعتبر حل المعادلة التكعيبية من قبل ليوناردو فيبوناتشي بداية النهضة في علم الجبر في أوروبا، في حين أخذ العالم الإسلامي في التراجع لصالح العالم الأوربي الذي نهض في مجال تطوير علم الجبر.

مجالات الرياضيات:

• الجبر الابتدائي، جزء من الجبر الذي عادة ما يتم تدريسه في مقررات الرياضيات الابتدائية.
• الجبر المجرد، فيه بنية الهياكل الجبرية مثل الزمر، والحلقات والحقول التي تم تعريفها والتحقق منها بديهياً.
• الجبر الخطي، والذي يتم دراسة خصائص محددة من المعادلات الخطية، وفضاء المتجهات والمصفوفات.
• الجبر التبادلي، دراسة الحلقات التبادلية
• الجبر الكمبيوتر، تنفيذ أساليب جبرية كالخوارزميات وبرامج الكمبيوتر.
• الجبر التماثلي، دراسة الهياكل الجبرية التي تعتبر أساسية لدراسة الفضاء الطوبولوجي.
• الجبر الشامل، الذي يتم فيها دراسة الخصائص المشتركة بين جميع الهياكل الجبرية.
• النظرية الجبرية للأعداد، حيث يتم دراسة خصائص الأعداد من وجهة نظر جبرية.
• الهندسة الجبرية، وهي فرع من الهندسة، في شكل بدائي لتحديد المنحنيات والسطوح من قبل حلول المعادلات عديدة الحدود.
• التوافيق الجبرية، تستخدم أساليب جبرية لدراسة مسائل التوافيق

العديد من البنى الرياضية تسمى بالجبر :

• الجبر المجرد أو بشكل أعم الجبر على حقل

يشمل الجبر التجريدي أو الجبر على حقل العديد من الأنواع:

• الجبر التجميعي
• الجبر غير التجميعي
• جبر لاي
• جبر هوبف
• جبر النجمي سي
• جبر التناظر
• الجبر الخارجي
• جبر الموترات
• في نظرية القياس:
• جبر سيجما
• الجبر على مجموعة
• في نظرية الفئات
• في المنطق:
• جبر العلاقات، حيث تكون المجموعة محدودة العلاقة مغلقة تحت عمليات معينة.
• جبر بولياني, بناء يلخص الحساب مع القيم الحقيقية الخاطئة والصحيحة
• جبر هيتنج

المقال الرئيسي: الجبر الابتدائي

مجموعة عبارات جبرية: 1- القوة (الأس). 2- معامل. 3- المدى. 4- المشغل. 5- الحد الثابت. x y c - المتغيرات / الثوابت.

الجبر الابتدائي هو أبسط شكل من الجبر. يتم تدريسها للطلاب الذين يفترض ألا يكون لديهم علم بالرياضيات أكثر من المبادئ الأساسية لعلم الحساب. تحدث في علم الحساب والأرقام فقط وعملياتهم الحسابية (: مثل +، -، ×، ÷). في الجبر، وغالباً ما تدل الأرقام عن طريق الرموز (: مثل A، N، X، Y أو Z). وهذا مفيد للأسباب التالية:

• يتيح للصياغة عامة للقوانين الحسابية (: مثل أ + ب = ب + أ لجميع أ وب)، وهو الخطوة الأولى لاستكشاف منهجي للخصائص نظام العدد الحقيقي.
• يتيح للإشارة إلى أرقام "غير معروف"، وصياغة المعادلات ودراسة كيفية حل هذه. (على سبيل المثال، "العثور على عدد x بحيث 3X + 1 = 10" أو الذهاب أبعد قليلا "العثور على عدد x مثل الفأس + ب = ج." هذه الخطوة تؤدي إلى الاستنتاج أنه ليس من هذا النوع من أرقام محددة تسمح لنا لحلها، هذا الهدف من العمليات المعنية.)
• يتيح الفرصة لصياغة العلاقات الوظيفية. (على سبيل المثال، "إذا كنت تبيع تذاكر X، ثم الربح الخاص بك سيكون 3X - 10 دولار، أو F (X) = 3X - 10، حيث f هي وظيفة، وx هو رقم لجميع والتي يتم تطبيقه على وظيفة". )

كثيرات الحدود

الرسم البياني لوظبفة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة..

المقال الرئيسي: كثيرات الحدود

كثيرات الحدود هي تركيب جبري (عبارة رياضية) يتكون من مجموع عدد نهائي من الحدود الجبرية (الأطراف) الغير صفرية، كل من هذه الحدود يتألف من حاصل ضرب عدد ثابت وعدد نهائي من المتغيرات المرفوعة لأس عدد صحيح. على سبيل المثال س² + 2س - 3 هي متعدد- الحدود في المتغير الوحيد س. يمكن إعادة كتابة كثيرات الحدود باستخدام الخواص التبادلية والترابطية والتوزيعية لعمليتي الجمع والضرب. على سبيل المثال، (س -1 ) (س + 3) تعبر عن كثيرة حدود، ولكن إذا تحدثنا بشكل دقيق فهي ليست كثيرة الحدود. دالة كثيرات الحدود هي دالة يتم تعريفها بواسطة كثيرة الحدود، أو على نحو مكافئ، من خلال التركيب الجبري لكثيرة الحدود. المثالان السابقان يعبران عن نفس دالة كثيرة الحدود.

هنالك اثنان من المشاكل المهمة والمتعلقة بالجبر، وهي: 1) تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل أولية، أي التعبير عن كثيرة حدود معينة كناتج ضرب كثيرات حدود أخرى لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية أبسط. 2) حساب القاسم المشترك الأكبر لكثيرة الحدود. المثال المذكور أعلاه لكثيرة الحدود يمكن تحليلها إلى عوامل أولية كالتالي: (س - 1) (س + 3). فئة من المشاكل ذات الصلة هي العثور على عبارات جبرية لجذور كثيرات الحدود في متغير واحد.

المقالات الرئيسية: الجبر المجرد و الهيكلة الجبرية

الجبر المجرد يستمد المبادئ المشابهة في الجبر الابتدائي والجبر الحسابي للأرقام لمفاهيم أكثر عموماً. هنا قائمة من المفاهيم الأساسية المدرجة في الجبر المجرد.

المجموعات: بدلاً من مجرد التعامل مع أنواع مختلفة من الأرقام، الجبر المجرد يتعامل مع مفاهيم أكثر عموميةً من المجموعات: مجموعة من كل المكونات (تسمى العناصر) المحددة بخاصية معينة للمجموعة. كافة المجموعات من الأنواع المتشابهة من ارقام هي مجموعة. أمثلة أخرى على مجموعات كمجموعة المصفوفات المعكوسة (2*2)، كافة المجموعات متعددة الحدود من الدرجة الثانية ( ax²+bx+c), المجموعة المكونة من عوامل ثنائية الأبعاد في المستوى، ومختلف المجموعات المحدودة مثل المجموعات الدورية، وهي من مجموعة الاعداد الصحيحة النمطية ن . نظرية المجموعات هي فرع من المنطق وليست فرعاً من الجبر فعلياً.

العمليات الثنائية: يستخرج مفهوم الجمع (+) لإعطاء عملية ثنائية، يقال عنها ∗. لا معنى لمفهوم العملية الثنائية دون المجموعة التي يتم بها تعريف العملية للعنصرين أ وب في المجموعة س. أ ∗ ب تعتبر عنصر آخر في المجموعة: تدعى هذه الحالة الإغلاق. يمكن أن تكون كلا من عملية الجمع (+) والطرح (-) والضرب (×) والقسمة (÷) عمليات ثنائية عندما تعرف في مجموعات مختلفة كما في جمع وضرب المصفوفات، المتجهات ومتعددة الحدود.

العناصر المحايدة: تستخرج الأرقام صفر وواحد لإعطاء مفهوم العنصر المحايد للعملية. الصفر هو العنصر المحايد لعملية الجمع والواحد هو العنصر المحايد لعملية الضرب. لعملية ثنائية عامة ∗ العنصر المحايد يجب أن يحقق المعادلة التالية: أ ∗ ي = أ . و ي ∗ أ = أ. وهذا ينطبق أيضاً على الجمع كما في المثال التالي: أ + 0 و 0 + أ = أ وفي حالة الضرب أ × 1 = أ، و 1 × أ = أ. ليس لكل المجموعات وتركيبات العملية عنصر محايد: على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية الموجبة (3,2,1، ...) ليس لها عنصر محايد للجمع.

العناصر العكسية: الأرقام السالبة تنشأ التزاماً لمفهوم العناصر العكسية. ففي حالة الجمع، يكون معكوس العدد (أ)، (-أ). أما في حالة الضرب فيُكتب المعكوس (أ⁻¹). العنصر المعكوس على الناحيتين العامة أ⁻¹ يحقق الخاصية التالية: أ×أ⁻¹ = 1 و أ⁻¹×أ = 1.

العملية التجميعية: يحتوي جمع الأعداد الصحيحة على خاصية تسمى الخاصية التجميعية. بمعنى تجميع الأرقام داخل اقواس لتجمع لا تؤثر على حاصل الجمع. على سبيل المثال: (2+3)+4 = 2+(3+4) . بشكل عام يصبح القانون (أ × ب)×ج = أ×(ب×ج). يشترك في هذه الخاصية معظم العمليات الثنائية، ماعدا الطرح أو القسمة أو ضرب الأوكتونيون.

العملية التبديلية: كلا من جمع وضرب الأعداد الحقيقة يعتبر عملية تبديلية. بمعنى ترتيب الأرقام في العملية لا يؤثر على النتيجة. على سبيل المثال، 2+3 = 3+2 . بشكل عام هذا يصبح القانون: أ×ب = ب× أ. هذه الخاصية لا تنطبق لجميع العمليات الثنائية. على سبيل المثال، ضرب المصفوفات و الضرب المركب المتعدد كلهما عمليات غير تبادلية.

ولا تزال كثيرات الحدود تلعب دور في الجبر عندما تُناقش المساواة ${\displaystyle {\mathcal {}}p(x)=0}$ أي المعادلات كثيرة الحدود، وهي صنف من المعادلات الجبرية . ومعظم المشاكل التي تُناقش من المعادلات الجبرية في الحاضر ما بقت تكون بسيطة؛ بل تُناقش بأسلوب الجبر التجريدي؛ ومن ضمنها معادلات ديوفانطس وغير تلك.

من وجهة نظر الجبر الشامل، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة ${\displaystyle A\,}$ مزودة بمجموعة من العمليات على ${\displaystyle A\,}$. نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على ${\displaystyle A\,}$ تمثل دالة رياضية تأخذ ${\displaystyle n\,}$ عنصر من المجموعة ${\displaystyle A\,}$ وتعطي كنتيجة عنصراً وحيداً من ${\displaystyle A\,}$.

لذلك فإن العملية اللاشيئية حيث ${\displaystyle n=0\,}$ يمكن أن تمثل عنصراً وحيداً من ${\displaystyle A\,}$ أو ما يدعى بالثابت غالباً يرمز له بحرف مثل ${\displaystyle a\,}$.

بالمقابل العملية الأحادية (حيث ${\displaystyle n=1\,}$) ببساطة عبارة عن دالة من ${\displaystyle A\,}$ إلى ${\displaystyle A\,}$ يمثل غالباً برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول ${\displaystyle ~a\,}$. أما العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية: ${\displaystyle a*b\,}$.

العمليات من رتب أعلى غالباً ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين: ${\displaystyle f(x,y,z)\,}$ أو ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{n})}$.

يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات لا منتهية (حيث ${\displaystyle n=\infty \,}$) مثل ${\displaystyle \bigwedge _{\alpha }x_{\alpha }}$، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية للمشابك الكاملة.

يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من نظرية النموذج نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون علاقات)،يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط.

تستخدم كلمة الجبر مع أنواع عديدة من البنى الجبرية :

• دالة جبرية
• جبر على حقل
• جبر على مجموعة
• جبر بولياني
• جبر إف جبر إف المرافقفي نظرية التصنيف.
• جبر سيغما.

• الخوارزمي مؤسس علم الجبر.
• المبرهنة الأساسية في الجبر
• نظام جبري حاسوبي

• كيف تفهم الجبر. كتب على النت حول الجبر.
• Algebra Software حلول لمسائل الجبر على النت.
• Algebra Help دروس جبر على النت.
• الجبر- أفكار أساسية     ست فصول تغطي أساسيات الجبر.
• أضواء على تاريخ الجبر
• شرح المواضيع الأساسية في الجبر
• I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
• R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6

• مراجعات سباركنوت في الجبر I و II
• ExampleProblems.com : أمثلة مسائل وحلولها حول أساسيات الجبر و جبر خطي.
• Purplemath.com "مصادرك لدراسة الجبر"
• (بالعربية) Forum non officiel :C.E.M Les frères Mezaache منتدى متوسطة الإخوة مزعاش تاجنانت ميلة الجزائر

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر