مصفوفة (رياضيات)

هو عدد الصفوف والأعمدة المكونة لهذه المصفوفة التي تحتوى على m من الصفوف و n من الأعمدة والحيز m*n وتكتب (A (m*n. إذا ساوى عددُ الصفوف عددَ الأعمدة، فإن المصفوفة تصير مصفوفةً مربعةً.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\color {red}{1}&2&\color {red}{3}&{\color {red}4}\\\color {red}{5}&6&{\color {red}7}&{\color {red}8}\\9&10&11&12\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix}}}$

انظر إلى محدد (مصفوفات).

لكى يمكن جمع مصفوفتين فلابد أن يكونا من نفس القياس. ويعرف حاصل جمع مصفوفتين بأنه المصفوفة الناتجة عن جمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين. فيتم جمع العناصر الناتجة عن تقاطع نفس الأعمدة والأسطر في كلا المصفوفتين وفق القاعدة:
${\displaystyle {\begin{bmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}&\cdots &{a}_{1n}\\{a}_{21}&{a}_{22}&\cdots &{a}_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\{a}_{m1}&{a}_{m2}&\cdots &{a}_{mn}\end{bmatrix}}}$ + ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{b}_{11}&{b}_{12}&\cdots &{b}_{1n}\\{b}_{21}&{b}_{22}&\cdots &{b}_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\{b}_{m1}&{b}_{m2}&\cdots &{b}_{mn}\end{bmatrix}}}$= ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{a}_{11}+{b}_{11}&{a}_{12}+{b}_{12}&\cdots &{a}_{1n}+{b}{1n}\\{a}_{21}+{b}_{21}&{a}_{22}+{b}_{22}&\cdots &{a}_{2n}+{b}_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\{a}_{m1}+{b}_{m1}&{a}_{m2}+{b}_{m2}&\cdots &{a}_{mn}+{b}_{mn}\end{bmatrix}}}$
.[2]

فعلى سبيل المثال إذا كان

ِ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-1&2\end{bmatrix}}}$ ,${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&-1&2\\7&2&3\end{bmatrix}}}$

فإن ${\displaystyle C=A+B={\begin{bmatrix}1&1&5\\7&1&5\end{bmatrix}}}$

يُضرب العنصر الوحيد مع كل عنصر من عناصر المصفوفة، وتكون النتيجة مصفوفة جديدة تحوي العدد نفسه من العناصر. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&3&2\\1&7&6\end{bmatrix}}*2={\begin{bmatrix}10&6&4\\2&14&12\end{bmatrix}}}$

رسم تخطيطي يوضح طريقة ضرب مصفوفة A بمصفوفة B.

• يجب في البداية أن نعلم أن ضرب المصفوفات غير تبديلي.
• من أجل إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين (وهو مصفوفة)، يجب أن يتحقق الشرط التالي:

عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى = عدد الأسطر في مصفوفة الثانية.

بفرض A مصفوفة من الشكل m x n، وB مصفوفة من الشكل p x q، فمن أجل إيجاد ${\displaystyle A*B}$، يجب أن يكون n=p.

سنبدأ في البداية بضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود، فبفرض A وB مصفوفتان، حيث:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}}$

فيكون: ${\displaystyle A*B={\begin{bmatrix}(a_{1})(b_{1})+(a_{2})(b_{2})+(a_{3})(b_{3})\end{bmatrix}}}$

ونلاحظ أن المصفوفة الناتجة هي مصفوفة وحيدة العنصر، وبالتالي، فإن ضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود ينتج مصفوفة وحيدة العنصر.

أما عند ضرب مصفوفتين متعددتي العناصر (وبفرض تحقق شروط الضرب)، فعندئذ، نقوم بتقسيم المصفوفة الأولى إلى سطور، والثانية إلى أعمدة، ونقوم بضرب الصف الأول بالعمود الأول (والنتيجة هي العنصر a_11 من النتيجة)، ثم نقوم بضرب الصف الأول مرة أخرى بالعمود الثاني (والنتيجة هي العنصر a_12 من النتيجة، وهكذا.

مثال توضيحي بالرموز:

بفرض: ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}&{a}_{13}\\{a}_{21}&{a}_{22}&{a}_{23}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}{b}_{11}&{b}_{12}\\{b}_{21}&{b}_{22}\\{b}_{31}&{b}_{32}\end{bmatrix}}}$

فيكون:

${\displaystyle A*B={\begin{bmatrix}({a}_{11}\times {b}_{11}+{a}_{12}\times {b}_{21}+{a}_{13}\times {b}_{31})&({a}_{11}\times {b}_{12}+{a}_{12}\times {b}_{22}+{a}_{13}\times {b}_{32})\\({a}_{21}\times {b}_{11}+{a}_{22}\times {b}_{21}+{a}_{23}\times {b}_{31})&({a}_{21}\times {b}_{12}+{a}_{22}\times {b}_{22}+{a}_{23}\times {b}_{32})\end{bmatrix}}}$

مثال بالأرقام:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}.}$

منقول مصفوفة ما هو المصفوفة الناتجة عن المصفوفة A_mxn بعد أن يتم تبديل الأعمدة بالأسطر وبالتالي تصبح A_nxm ويرمز لها بالرمز A^T. يلاحظ أن العنصر الذي يقع في الصف i والعمود j في المصفوفة A، سيقع في الصف j والعمود i في منقول المصفوفة. .[3]

على سبيل المثال، منقول المصفوفة A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&13\\20&55&4\end{bmatrix}}}$ هو المصفوفة${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&20\\9&55\\13&4\\\end{bmatrix}}}$

من خواص منقول المصفوفة:[4]

• منقول مجموع مصفوفتين هو مجموع منقول هاتين المصفوفتين أي أن :

A+B)^T = A^T + B^T)

• منقول حاصل ضرب مصفوفتين يساوي حاصل ضرب المصفوفتين بشكل معاكس لمنقولهما أي:

A.B)^T = B^T × A^T)

معكوس المصفوفة يقصد به المعكوس الضربى للمصفوفة بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يساوى مصفوفة الوحدة.

تدعى المصفوفة A مصفوفة قابلة للعكس إذا وجدت مصفوفة B تحقق العلاقة التالية:

AB = I_n

و تدعى المصفوفة B بمقلوب المصفوفة A ويرمز لها بالرمز A⁻¹. يكون للمصفوفة المربعة من الدرجة n إذا كانت مصفوفة غير شاذة ويكون معكوسها وحيد. ويحسب معكوس المصفوفة من العلاقة :[5]

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}}$

حيث |A| محدد المصفوفة A وC_ij المصفوفة المرافقة:

و يكون بالتالي معكوس المصفوفة المربع ذات الدرجة الثاني :

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}$

يمتاز معكوس المصفوفة بالخصائص التالية:[6]

• معكوس معكوس مصفوفة هو المصفوفة الأصلية نفسها أي:

${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{-1}=\mathbf {A} }$.

• منقول معكوس مصفوفة يساوي إلى معكوس منقول المصفوفة أي:

${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,}$

• معكوس جداء مصفوفتين يساوي إلى حاصل ضرب معكوس المصفوفة الثانية في معكوس المصفوفة الأولى أي:

${\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}$

الاسم	مثال حيث n = 3
مصفوفة قطرية	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$
مصفوفة مثلثية سفلى	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$
مصفوفة مثلثية عليا	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$

• المصفوفة الصفرية.
• مصفوفه العمود.

${\displaystyle \mathbf {I} _{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ \mathbf {I} _{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

جميع عناصر القطر الرئيسي في مصفوفة وحدة تساوي الواحد.

يدعى مجموع عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة بأثر المصفوفة (tr(A وبما أن الأثر الناتج عن مصفوفتين مستقل فإن ضرب أثري مصفوفتين هو عملية تبديلية أي : (tr(AB) = tr(BA. كما أن أثر مصفوفة يساوي أثر منقول المصفوفة tr(A) = tr(A)^T

حساب قيمة محدد الدرجة الثالثة: هناك طريقتان لحساب محدد مصفوفة من الدرجة الثالثة

الطريقة الأولى:

1. نكرر كتابة العمود الأول والثاني على الترتيب بعد العمود الثالث.
2. نكون مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليسار إلى اليمين ونطرح منه مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليمين إلى اليسار.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{31}&a_{32}\\\end{bmatrix}}}$

الطريقة الثانية:

ملحوظة: الطريقة الأولى لا تصلح للتطبيق على محددات المصفوفات ذات الدرجة الاعلى من 3×3. حيث بينما الطريقة الثانية يمكن تعميمها على محدد أي مصفوفة مع الاستفادة من خواص المحددات السابقة للتقليل من العمليات الحسابية.

الفك عن طريق المتعاملات: إذا كانت مصفوفة من الدرجة نفرض أن هي المصفوفة الناتجة من المصفوفة A بعد حذف الصف رقمi والعمود رقم j في لمصفوفة A المحدد تسمى المحددة الصغرى للعنصر ويعرف متعامل العنصر بأنه

ولأي مصفوفة مربعة يتحقق الآتي مجموع حاصل ضرب عناصر أي صف أو عمود في متعاملاتها يعطي قيمة المحدد أي انه إذا كانت مصفوفة من الدرجة فان

1. ويسمى مفكوك المحدد حول الصف رقم i
2. ويسمى مفكوك الصف حول العمود

بالنسبة للمصفوفات التي تكون من الدرجة الرابعة أو أكثر يستحسن تحويلها إلى مصفوفة مثلثية لتبسيط حساب المحدد وبالتالي يصبح يساوي جداء عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة المثلثية الجديدة

إذا توفر ${\displaystyle Av=\lambda v}$ حيث ${\displaystyle \lambda }$ هو عدد حقيقي و حيث ${\displaystyle v}$ هو متجه، فإنه يُقال أن ${\displaystyle \lambda }$ هو قيمة ذاتية للمصفوفة ${\displaystyle A}$ وأن المتجه ${\displaystyle v}$ هو متجه ذاتي للمصفوفة ${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.}$

انظر إلى متعددة حدود مميزة.

انظر إلى اشتقاق من الدرجة الثانية.

${\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right].}$

انظر إلى بصريات هندسية.