استقلال خطي

مجموعة الدوال ${\displaystyle S=\left\{y_{1}(x),y_{2}(x),\dots ,y_{n}(x)\right\}}$ تسمى تابعة خطيًا (أو غير مستقلّة) في ${\displaystyle [a,b]}$ إذا وجدت n أعداد ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ لا تساوي جميعها صفرًا تحقّق: ${\displaystyle a_{1}y_{1}(x)+a_{2}y_{2}(x)+\dots +a_{n}y_{n}(x)=0}$

في حال عدم وجود مثل هذه الأعداد، تدعى مجموعة الدوال S مجموعة مستقلّة خطيًا.

المتجهان (1 ,1) و (2 ,3-) في الفضاء الشعاعي R² هما متجهان مستقلان خطيًا.

البرهان

لنفرض أنّ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ هما عددان حقيقيان يحقّقان:

${\displaystyle a_{1}(1,1)+a_{2}(-3,2)=\left(0,0\right)}$

المعادلة أعلاه هي عبارة عن كتابة مختصرة لمعادلتين خطّيتين بمجهولين، والتي من الممكن الحصول عليها إذا أخذنا معادلة كل إحداثي على حدة:

${\displaystyle a_{1}-3a_{2}=0}$

${\displaystyle a_{1}+2a_{2}=0}$

ويكون الحل الوحيد للمعادلتين هو: ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=0}$، أي أنّ هذا الحل هو الحل الوحيد. فالاستنتاج هو أنّ المتجهين مستقلان خطيًا.

برهان آخر بواسطة المحددات

طريقة أخرى للبرهان تعتمد على حقيقة كون n متجهات في Rⁿ تابعة خطيًا إذا وفقط إذا كانت المحدّدة التي تتكون عند ترتيب المتجهات كأعمدة في مصفوفة تساوي صفرًا.

في المثال أعلاه، تكون المصفوفة هي التالية:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.\,\!}$

المطلوب إيجاد متجه غير متّجه الصفر، والمكوّن من ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$، والذي يحقّق:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.\,\!}$

قيمة المحدّد للمصفوفة M تدلّنا على عدد الحلول الموجود للمعادلة. في هذه الحالة:

${\displaystyle \det M=1\cdot 2-(-3)\cdot 1=5\neq 0}$

بما أنّ محدد المصفوفة ليس صفرًا، هذا يعني أنّ هنالك حلّ وحيد لهيئة المعادلات. ولكن، بما أنّ الحل التافه ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=0}$ يحل هيئة المعادلات، معنى الأمر أنّه الحل الوحيد. أي أنّ المتجهين الأصليين مستقلان خطيًا.

ليكن V هو الفضاء المتجهي ذو n الأبعاد، ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. مجموعة المتجهات التالية في V هي مجموعة متجهات مستقلّة خطيًا:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}=(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}=(0,1,0,\ldots ,0)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}=(0,0,0,\ldots ,1)\end{matrix}}}$

البرهان

لنفرض n أعداد حقيقيّة، ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$، تحقّق:

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=0}$

ولكن:

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$

أي أنّ ${\displaystyle ~a_{i}=0~}$ لكل i يحقّق ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.

ليكن V فضاء المتجهات الذي يحوي جميع الدوال بمتغير حقيقي، t. إنّ الدالتين ${\displaystyle e^{t}}$ و${\displaystyle e^{2t}}$ هما دالتان أو متجهان مستقلان خطيًا.

البرهان

لنفرض عددين حقيقيّن، a وb يحققّان:

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$، لكل قيمة t.

لبرهان استقلالية الدالتين، يجب أن نثبت أنّ a = 0 وكذلك b = 0. لذلك، نقسم طرفي المعادلة على e^t (هذا ممكن لأنّ القيمة e^t موجبة دائمًا)، فنحصل على:

${\displaystyle be^{t}=-a}$.

المساواة بين الطرفين لكل قيمة t ممكنة فقط إذا كان b = 0، أي أنّ a = 0 كذلك.

المتجهات الثلاثة التالية، التابعة لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$، هي تابعة خطيًا:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.\end{matrix}}}$

البرهان

لنفرض ثلاثة أعداد، ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ تحقّق:

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.\end{matrix}}}$

هذا يعني تحقيق هيئة المعادلات التالية:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}a_{1}\\4a_{1}\\2a_{1}\\-3a_{1}\end{matrix}}&{\begin{matrix}+\\+\\-\\-\end{matrix}}&{\begin{matrix}7a_{2}\\10a_{2}\\4a_{2}\\1a_{2}\end{matrix}}&{\begin{matrix}-\\+\\+\\-\end{matrix}}&{\begin{matrix}2a_{3}\\1a_{3}\\5a_{3}\\4a_{3}\end{matrix}}&{\begin{matrix}=\\=\\=\\=\end{matrix}}&{\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}}\end{matrix}}}$

إذا قمنا بحل الهيئة، بحسب طريقة غاوس مثلاً، نخلص إلى أنّ:

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{1}=-3a_{3}/2\\a_{2}=-a_{3}/2\end{matrix}}}$

بما معناه أنّه بالإمكان اختيار قيمة ${\displaystyle a_{3}}$ بشكل عشوائي، وإيجاد القيم المناسبة لـ${\displaystyle a_{1}}$ و${\displaystyle a_{2}}$. معنى الأمر أنّه هنالك عدد لا نهائي من الحلول - أي أنّ هنالك حلولاً غير صفرية لهيئة المعادلات، والمتجهات الثلاث تابعة خطيًا.