حذف غاوس-يوردان

يمكن استعمال حذف غاوس-يوردان في المصفوفة المربعة لحساب معكوسها كما يلي.

${\displaystyle [AI]\Rightarrow A^{-1}[AI]\Rightarrow [IA^{-1}].}$

إذا كانت المصفوفة المربعة الأصلية ${\displaystyle A}$ معطاة بالتعبير:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}.}$

حينئذ يمكن بالاستعانة بمصفوفة الوحدة الحصول على:

${\displaystyle [AI]={\begin{bmatrix}2&-1&0&1&0&0\\-1&2&-1&0&1&0\\0&-1&2&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

وبتطبيق عمليات الصف الأساسية على ${\displaystyle [AI]}$ المصفوفة حتى تصل ${\displaystyle A}$ صورة الصف المخفض يمكن في النهاية الحصول على النتيجة:

${\displaystyle [IA^{-1}]={\begin{bmatrix}1&0&0&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\0&1&0&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\0&0&1&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\end{bmatrix}}.}$

والان بعكس الوسيط, يمكن الحصول على:

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad A^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\end{bmatrix}}.}$

#include <cstdlib>
double** gauss(double **matrix, int diminsion)
{
    double **inverse;
    inverse = (double**) malloc(diminsion * sizeof (double *));
    for (int i = 0; i <diminsion; i++)
        inverse[i] = (double*) malloc(diminsion * sizeof (double));

    for (int i = 0; i <diminsion; i++)
        for (int j = 0; j <diminsion; j++)
            inverse[i][j] = 0;

    for (int i = 0; i <diminsion; i++)
        inverse[i][i] = 1;

    for (int k = 0; k <diminsion; k++)
    {
        for (int i = k; i <diminsion; i++)
        {
            double val = matrix[i][k];
            for (int j = k; j <diminsion; j++)
                matrix[i][j] /= val;
            for (int j = 0; j <diminsion; j++)
                inverse[i][j] /= val;
        }
        for (int i = k + 1; i <diminsion; i++)
        {
            for (int j = k; j <diminsion; j++)
                matrix[i][j] -= matrix[k][j];
            for (int j = 0; j <diminsion; j++)
                inverse[i][j] -= inverse[k][j];
        }
    }

    for (int i = diminsion - 2; i>= 0; i--)
    {
        for (int j = diminsion - 1; j> i; j--)
        {
            for (int k = 0; k <diminsion; k++)//this part can be can canceled (the two lines)
                inverse[i][k] -= matrix[i][j] * inverse[j][k]; //
            for (int k = 0; k <diminsion; k++)//this part can be can canceled (the two lines)
                matrix[i][k] -= matrix[i][j] * matrix[j][k]; //
        }
    }
    return inverse;
}

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر
• بوابة خوارزميات