فضاء متجهي

المثال الثاني على الفضاءات المتجهية هو الأزواج من الأعداد الحقيقية ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ (الترتيب الذي جاءا فيه العددان${\displaystyle x}$ و مهم يعني بصفة عامة${\displaystyle (x,y)\neq (y,x)}$. لهذا السبب سمي هذا الزوج بزوج مرتب).

• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$

• ${\displaystyle a(x,y)=(ax,ay)}$

لتكن ${\displaystyle E}$ مجموعة من العناصر (ليس بالضرورة أعداد) مزودة بقانون تركيب داخلي يرمز له بـ ${\displaystyle +}$ (ليس بالضرورة الجمع المألوف)

وليكن ${\displaystyle {\bigl (}K,\oplus ,\otimes {\bigr )}}$ حقل تبادلي (استعملت الرموز${\displaystyle \oplus }$و ${\displaystyle \otimes }$ لكي لا يتم الخلط بينها وبين ${\displaystyle +}$و ${\displaystyle \cdot }$ لكنها لا تعدو كونها مجرد رموز)

نعرف الفضاء المتجهي على أنه مجموعة ${\displaystyle E}$ مزودة بـ

• قانون تركيب داخلي يرمز له بـ ${\displaystyle +}$
  $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}+:\quad &E\times E\longrightarrow E\\&(x,y)\longmapsto x+y\\\end{alignedat}}}$$

  
• قانون تركيب خارجي يرمز له بـ ${\displaystyle \cdot }$
  $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cdot \quad$$ :\quad &K\times E\longrightarrow E\\&(a,x)\longmapsto a\cdot x\\\end{alignedat}}}

  

حيث تحقق الخاصيات التالية :

${\displaystyle \forall x,y,z\in E,\quad \forall a,b\in K}$

الموضوعة	المعنى
تجميعية الجمع	${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$
تبديلية الجمع	${\displaystyle x+y=y+x}$
وجود العنصر المحايد للجمع ${\displaystyle 0_{E}}$ داخل ${\displaystyle E}$ (${\displaystyle 0_{E}\in E}$) الذي يحقق لكل ${\displaystyle x}$:	${\displaystyle x+0_{E}=x}$
وجود العنصر المعاكس للجمع ${\displaystyle -x}$داخل ${\displaystyle E}$(${\displaystyle -x\in E}$) لكل ${\displaystyle x}$، والذي يحقق :	${\displaystyle \qquad x+(-x)=0_{E}}$
توزيعية قانون التركيب الخارجي ${\displaystyle \cdot }$على الجمع الداخلي ${\displaystyle +}$في ${\displaystyle E}$	${\displaystyle a\cdot (x+y)=(a\cdot x)+(a\cdot y)}$
توزيعية قانون التركيب الخارجي ${\displaystyle \cdot }$على الجمع الداخلي ${\displaystyle \oplus }$في ${\displaystyle K}$	${\displaystyle (a\oplus b)\cdot x=(a\cdot x)+(b\cdot x)}$
توافق الجداء ${\displaystyle \otimes }$ المعرف على ${\displaystyle K}$ مع الجداء الخارجي لـ ${\displaystyle E}$	${\displaystyle a\cdot (b\cdot x)=(a\otimes b)\cdot x}$
العنصر المحايد ${\displaystyle 1_{K}}$ لعملية الجداء الداخلي ${\displaystyle \otimes }$ في ${\displaystyle K}$ يحقق لكل ${\displaystyle x}$:	${\displaystyle 1_{K}\cdot x=x}$

نقول أن ${\displaystyle {\bigl (}E,+,\cdot {\bigr )}}$هو فضاء متجهي معرف على ${\displaystyle K}$

• عناصر${\displaystyle E}$تسمى المتجهات . تكتب عادة بحروف لاتينية صغيرة ${\displaystyle x,y,z,v,u,w...}$و غالبا ما تميز عن كونها مجرد أعداد برسم سهم فوق اسم المتجهة ${\displaystyle {\vec {v}}}$ وخصوصا في الفيزياء والهندسة، أو ببساطة قد تكتب بخط غليظ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}...}$

• عناصر${\displaystyle K}$تسمى الكميات القياسية أو كميات سُلمية (scalaire). مثل الأعداد الحقيقية أوالأعداد العقدية. عادة ما تُمَيـز عن المتجهات بكتابتها بحروف يونانية صغيرة ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\lambda ,\mu \cdots }$.

مجموعة الأعداد العقدية C تكوّن فضاء متجهيا:

(.,+,C) هو فضاء متجهي على الحقل C حيث + هو الجمع بين الاعداد العقدية المألوف و . هو الضرب المألوف بين العداد العقدية

يمكنك التحقق بنفسك ( كتمرين ) من أن هاذان القانونين + و . يحققان بدهيات الفضاء المتجهي

انظر أيضا إلى امتداد الحقول وإلى نظرية الأعداد الجبرية

(f + g)(w) = f(w) + g(w)

انظر إلى فضاء الدوال وإلى مستقيم الأعداد الحقيقية.

a	+	3b	+	c	= 0
4a	+	2b	+	2c	= 0

شكل مبين لمصفوفة

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\cdots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)}$

حيث ${\displaystyle \sum }$ تعني الجمع.