فضاء هيلبرت

أحد الأمثلة الأكثر شيوعًا لفضاء هيلبرت هو فضاء المتجه الإقليدي المكون من متجهات ثلاثية الأبعاد، وعملية الجداء النقطي، ويُشار إليه بالرمز R³. عملية الجداء القياسي تأخذ متجهين x وy وينتج عنها عدد حقيقي x ⋅ y. لو مثلنا x وy بالإحداثيات الديكارتية، فإن حاصل الجداء القياسي يكون:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.}$$

الجداء النقطي يستوفي الخصائص التالية:

• متماثل في x و y: x ⋅ y = y ⋅ x
• خطي لأول جزء من العنصر: (ax₁ + bx₂) ⋅ y = ax₁ ⋅ y + bx₂ ⋅ y لأي قيمة عددية a و b والمتجهات x₁ وx₂ وy
• محدد إيجابيا: لجميع المتجهات x، x ⋅ x ≥ 0 ، ويساوي الصفر إذا وفقط إذا كان x = 0

الجداء النقطي الذي يتم إجراؤه على أزواج المتجهات والمستوفي لهذه الخصائص الثلاث، يعرف بالجداء الداخلي (الحقيقي). فضاء المتجه الحاوي لهذا الجداء الداخلي الحقيقي يُعرف كـ فضاء جداء داخلي (حقيقي). كل فضاء جداء داخلي ذو أبعاد محدودة هو أيضًا فضاء هيلبرت.[4] الخاصية الأساسية للجداء النقطي التي تربطه بالهندسة الإقليدية هي أنه مرتبط بطول (أو معيار) المتجه، المشار إليه بـ ||x|| ، والزاوية θ بين متجهين x و y عن طريق الصيغة:

$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.}$$

الاكتمال يعني أنه إذا تحرك جسيم على طول المسار المتعرج (باللون الأزرق) قاطعًا مسافة إجمالية محدودة، فإن الجسيم لديه إزاحة صافية محددة جيدًا (باللون البرتقالي).

حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات في الفضاء الإقليدي يعتمد على حساب النهايات، وللحصول على معايير مفيدة لاستنتاج وجود النهايات. فإن المتسلسلة الرياضية

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}}$$

المكونة من متجهات في R³ تتقارب بشكل مطلق شريطة أن يتقارب مجموع الأطوال كأي متسلسلة عادية من الأعداد الحقيقية:[5]

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.}$$

تمامًا كما هو الحال مع متسلسلة من القيم، فإن متسلسلة من المتجهات التي تتقارب مطلقًا تتقارب أيضًا لـ متجه نهائي L في الفضاء الإقليدي، بمعنى أن

$${\displaystyle \left\|\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}\right\|\to 0\quad {\text{as }}N\to \infty \,.}$$

تعبر هذه الخاصية عن اكتمال الفضاء الإقليدي: أي أن المتسلسلة التي تتقارب مطلقًا تتقارب أيضًا بالمعنى المعتاد.

غالبًا ما يغلب استخدام الأعداد المركبة في فضاءات هلبرت. فالمستوى العقدي المشار له بـ C يحوي مفهوم الحجم، والقيمة المطلقة |z| المُعَّرَف بأنه الجذر التربيعي لجداء z مع مرافقه المركب:

$${\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}\,.}$$

إذا كان z = x + iy هو تحليل z إلى جزئيه الحقيقي والخيالي، فإن المقياس هو الطول الإقليدي ثنائي الأبعاد المعتاد:

$${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,.}$$

الجداء الداخلي لزوج من الأعداد المركبة z و w هو z مع مرافق w:

$${\displaystyle \langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.}$$

والناتج مركب القيمة. الجزء الحقيقي من ⟨z, w⟩ يعطي الجداء النقطي الإقليدي المعتاد ثنائي الأبعاد. المثال الثاني هو الفضاء C² الذي تتكون عناصره من أزواج من الأعداد المركبة z = (z₁, z₂). وحاصل الجداء الداخلي لـ z مع متجه آخر w = (w₁, w₂)يعطى بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w_{1}}}+z_{2}{\overline {w_{2}}}\,.}$$

الجزء الحقيقي من ⟨z, w⟩هو الجداء النقطي الإقليدي ثنائي الأبعاد. هذا الجداء الداخلي يتميز بأنه متناظر هيرميتيا "Hermitian symmetric"، مما يعني أن نتيجة التبادل بين z و w هي ترافق مركب:

$${\displaystyle \langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.}$$

فضاء هلبرت H هو فضاء جداء داخلي حقيقي أو مركب وهو أيضًا فضاء متري كامل مع دالة المسافة الناتجة عن الجداء الداخلي.[6]

عندما نقول أن H هو فضاء جداء داخلي مركب فإننا نعني أن H هو فضاء متجهي مركب يحوي جداء داخلي ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ يربط كل زوج من العناصر ${\displaystyle x,y}$ في H بعدد مركب، ويتمتع هذا الجداء بالخصائص التالية:

1. الجداء الداخلي مترافق متناظر؛ أي أن الجداء الداخلي لزوج من العناصر يكافئ المرافق المركب للجداء الداخلي لنفس العناصر مع تبديل ترتيبها:${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.}$
   $${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.}$$

   
2. الجداء الداخلي خطي لأول جزء من العنصر [7] لجميع الأعداد المركبة ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b,}$
   $${\displaystyle \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.}$$

   
3. الجداء الداخلي لعنصر مع نفسه هو إيجابي منتهي:
   $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,x\rangle >0&\quad {\text{ if }}x\neq 0,\\\langle x,x\rangle =0&\quad {\text{ if }}x=0\,.\end{alignedat}}}$$

   

نستنتج من الخاصيتين 1 و 2 أن الجداء الداخلي المركب هو اقتران غير خطي "antilinear map"، ويسمى أيضًا "conjugate linear"، للجزء الثاني من العنصر، بمعنى أن:

$${\displaystyle \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.}$$

فضاء الجداء الداخلي الحقيقي يُعرف بنفس الطريقة، عدا أن H هو فضاء متجهي حقيقي وأن الجداء الداخلي يأخذ قيمًا حقيقية. مثل هذا الجداء الداخلي سيكون اقترانا ثنائي الخطوط و${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ سيشكل نظام ثنائي.[8]

المعيار هي دالة حقيقية القيمة تعرف على النحو التالي:

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,,}$$

والمسافة ${\displaystyle d}$ بين نقطتين ${\displaystyle x,y}$ في H تُعَرَّف عن طريق المعيار بالشكل التالي:

$${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.}$$

ودالة المسافة هذه تعني أولاً أنها متناظرة في ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ (نفس القيمة سواء من ${\displaystyle x}$ إلى ${\displaystyle y}$ أو من ${\displaystyle y}$ إلى ${\displaystyle x}$) وثانيا أن المسافة بين ${\displaystyle x}$ ونفسها صفر، وعدا ذلك فالمسافة بين ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ يجب أن تكون موجبة، وأخيرًا تظل متباينة المثلث قائمة، مما يعني أن طول أحد أضلاع المثلث xyz لا يمكن أن يتجاوز مجموع طولي الساقين الآخرين:

$${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.}$$

هذه الخاصية الأخيرة هي في الأخير نتاج لمتباينة كوشي -شوارتز، والتي تؤكد أن:

$${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|}$$

ويتساوون إذا وفقط إذا كان ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ غير مستقلين خطيًا.

بوجود دالة مسافة مُعَرَّفة بهذا الشكل، فإن أي فضاء جداء داخلي هو فضاء متري، ويُعرف أحيانًا باسم «فضاء هاوسدورف ما قبل هلبرت» (Hausdorff pre-Hilbert space).[9] أي فضاء ما قبل هلبرت وأيضًا فضاء كامل فهو فضاء هيلبرت.

يُعبر عن اكتمال H باستخدام نموذج من اختبار كوشي للمتسلسلات في H: ففضاء ما قبل هلبرت H مكتمل إذا كان كل متسلسلة كوشية تتقارب بالنسبة للمعيار إلى عنصر في الفضاء. يمكن وصف الاكتمال بالشرط المكافئ التالي: إذا كانت متسلسلة المتجهات

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$$

تتقارب بشكل مطلق بمعنى أن

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,}$$

فإن المتسلسلة تتقارب في H، بمعنى أن المجاميع الجزئية تتقارب إلى عنصر في H

ولأن فضاءات هلبرت معيارية كاملة، فإنها بالتعريف هي أيضًا فضاءات باناخ. ولذا فهي فضاءات متجهات طوبولوجية، حيث مفاهيم الطوبولوجيا مُعَرَفَة بشكل جيد مثل انفتاح وانغلاق المجموعات الفرعية. لفكرة الفضاء الجزئي الخطي المغلق في فضاء هلبرت أهمية خاصة، حيث يصبح فضاءًا مكتملًا أيضًا مع الجداء الداخلي المُقَيد، (كونه مجموعة مغلقة في فضاء متريّ كامل) وبالتالي فهو فضاء هيلبرت في حد ذاته.

فضاء المتسلسلة الذي يرمز له بـ l² يتكون من جميع المتتاليات اللانهائية z = (z₁, z₂, …) من الأعداد المركبة بحيث تكون المتسلسلة

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}}$$

متقاربة. ويُعَرَّف الجداء الداخلي في l² على النحو التالي:

$${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w_{n}}}\,,}$$

وكنتيجة لمتباينة كوشي -شفارز، فإن المتسلسلة الأخيرة تتقارب.

شرط اكتمال الفضاء متحقق طالما أن متسلسلة من العناصر من l² تتقارب مطلقًا بالنسبة للمعيار، إذا فإنها تتقارب لـ عنصر في l². يعتبر البرهان أساسيًا في التحليل الرياضي، ويسمح بالتعامل مع متسلسلة من عناصر الفضاء بنفس السهولة كما في حالة متسلسلة أرقام مركبة (أو متجهات في فضاء إقليدي محدود الأبعاد).[9]