تحليل دالي

في أواخـر القرن التاسع عشر - بصورة مصاحبة للدراسات المتعلقة بالمعادلات التكاملية - ظهرت المفاهيم التي ستجتمع فيما بعد تحت اسم التحليـل الدالى، وفي بدايات القرن العشرين أخذت تعريفات الفراغات والمؤثرات صورتها الحالية في ظل التوجـه السائد في تلك الفترة نحو التجريـد، وكذا التوجه نحو نظـام يعتمد على المسلمات "Axiomatic" أسهم أيضاً في تأسيس صياغة مجردة للجبر الخطى؛ ومن أجل إدراك التوجه الفكرى الذي أدى إلى ظهور التحليل الدالى من الجيد رسم صورة عن تطور الجبر الخطى خلال القرن التاسع عشـر، فحتى بداية العقد الرابع من ذلك القرن تمثل الجبـر الخطى في دراسة النـظم المنتـهية من المعادلات الخطية ذات المعاملات الحـقيقية أو المركبة، لكن النتائج كانت تقتصر على الحالة التي يكون فيها عدد المجاهيل مساو لعدد المعادلات؛ ولقد أعطت صيغ كرامر حلا وحيدا في حالة أن يكون محدد المجموعة ليس صفراً.

في هذا السياق يمكن تعقـب بداية التحليـل الدالى إلى جهـود الرياضى والفيزيائي الإيطـالى فيتو فولتيـرا الذي حاول تطوير طرق مشابهة لطرق كرامر لكن لدراسة المعادلات التكاملية. فقط في البداية نشير إلى مفهـوم «المؤثـرات Operators» وهي دوال مجالها (وأحياناً مداها) مجموعة من الدوال، وأبسط مثال هو مؤثر الاشتقاق؛ وعلى وجه الخصوص تسمى المؤثرات التي يقع مداها في مجموعة الأعداد الحـقيقية ${\displaystyle {\mbox{ }}\mathbb {R} {\mbox{ }}}$ أو المركبة ${\displaystyle {\mbox{ }}\mathbb {C} {\mbox{ }}}$ بـ «الدالِّيات Functionals».

في عام 1896، وفي أحد أبحاثه، بدأ ڤولتيرا باعتبار المؤثر الذي ينقل كل دالة متصلة${\displaystyle {\mbox{ }}f{\mbox{ }}}$ إلى دالة ${\displaystyle {\mbox{ }}\varphi {\mbox{ }}}$ متصلة وتمثل حلاً للمعادلة التكاملية

${\displaystyle f(x)=\varphi (x)-\int _{a}^{x}k(x,y)\varphi (y)dy}$ حيث ${\displaystyle {\mbox{ }}k{\mbox{ }}}$ متصلة.

الآن بتعريف ${\displaystyle {\mbox{ }}I\varphi =\varphi {\mbox{ }}}$ و ${\displaystyle {\mbox{ }}(K\varphi )(x)=\int _{a}^{x}k(x,y)\varphi (y)dy{\mbox{ }}}$ ، أثبت ڤولتيرا أن ${\displaystyle {\mbox{ }}\varphi {\mbox{ }}}$ تعطى بالعلاقة

${\displaystyle \varphi =(I-k)^{-1}f=f+Kf+K^{2}f+\cdots }$

حيث ${\displaystyle K^{n}f=K(K^{n-1}f){\mbox{ }}}$ .

استكمل هذه المجهودات كلاً من الرياضي السويدي إريك إيڤار فريدهولم "Erik Ivar Fredholm"

أيفار فريدهولم (7 أبريل 1866 - 17 أغسطس 1927)

والرياضي الألماني دافيد هيلبرت خلال العقد الأول من القرن العشرين، وجدير بالذكر هنا أن هيلبرت - وخلال هذه الدراسة المتعلقة بالمعادلات التكاملية - اهتم بالدور الذي تلعبه مجموعة المتتابعات الحـقيقية (سنرمز للمتتابعات بالرمز ${\displaystyle {\mbox{ }}\{x_{n}\}{}}$) التي تحقق

${\displaystyle {\mbox{ }}\Sigma _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}{\mbox{ }}}$[1] ، هذه المجموعة ستعرف فيما بعد بالفراغ ${\displaystyle \ell _{2}}$ .

دافيد هيلبرت (23 يناير 1862 - 14 فبراير 1943)

تبعت فترة النشأة المبكرة أعمال موريس رينيه فريشيه الذي عرف مفهوم فضاءات المسافة في 1906 واهتم بدراسة المسافات المعرفة على فضاءات الدوال، وكذلك الأخوين فريجوس "Frigyes Riesz" ومارسيل ريس "Marcel Riesz" ثم أعمال المدرسة البولندية الممثلة في هوجو شتاينهاوس "Hugo Steinhaus" وستيفان باناخ "Stefan Banach".

ويعتبر كتاب باناخ «نظرية العمليات الخطية Theorie des Operations Lineaires» الذي نشر عام 1932 والذي يتضمن أعمال رسالته للدكتوراه التي كتبها عام 1922 هو البداية الرسمية للتحليل الدالي كفرع مستقل بذاته من فروع الرياضيات، ويتضمن هذا الكتاب المفاهيم والتعريفات الأساسية للتحليل الدالي والنظريات الأساسية التي بني عليها هذا الفرع.

ستيفان باناخ (30 مارس 1892 - 31 أغسطس 1945)

وقد أنتجت العقود الثلاثة الأولى من القرن العشرين بضعة نظريات أساسية في موضوع التحليل الدالي ويمكن اعتبارها بمثابة أركان هذا البناء الرياضى، ومن هذه النظريات (المبادئ) الأساسية الثلاث نظريات التالية:

• نظرية هان-باناخ Hahn - Banach Theorem
• نظرية المحدودية المنتظمة Uniform Boundedness Theorem
• نظرية الصورة المغلقة Closed Graph Theorem

ومن مواضيع التحليل الدالي:

• الفراغات المعيرة و فراغات بناخ
• فراغات حاصل الضرب القياسى و فراغات هيلبرت
• فضاء باناخ
• حساب التغيرات

• قائمة مواضيع التحليل الدالي
• ستيفان باناخ