جبر ابتدائي

يتم تعريف عملية الجمع بتكرار جمع الرقم واحد والذي يغير النتيجة إلى الرقم التالي. فمثلا

أي رقم مجموع عليه واحد يساوى الرقم الذي يليه

${\displaystyle 1+1=2\,}$

${\displaystyle 2+1=3\,}$

أي رقم مجموع مع أي رقم آخر يتم تحليل أحدهما لمجموع الآحاد كما يلى${\displaystyle 2+2=1+1+1+1=3+1=4\,}$

${\displaystyle 2+3=2+1+1+1=3+1+1=4+1=5\,}$

وهكذا.

• الجمع عملية تبديلية. وهذا يعنى أن ترتيب المعاملات حول عملية الجمع يساوى نفس النتيجة.

${\displaystyle a+b=b+a\,}$

• [الجمع] عملية تجميعية. وهذا يعنى أن ترتيب إجراء عملية الجمع لا يؤثر على النتيجة.

${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c\,}$

• المحايد الجمعى (الصفر) هو الرقم الذي لا يؤثر على عملية الجمع.

${\displaystyle a+0=0+a=a\,}$

• الطرح عملية معاكسة للجمع.أي أن طرح أي رقم من رقم آخر يساوى الفرق بينهما الذي لو أضيف للرقم الثاني يساوى الرقم الأول.

${\displaystyle a-b=c\,}$

${\displaystyle a=c+b\,}$

• وهذا يعنى أن طرح الرقم من نفسه لابد أن يساوي المحايد الجمعى (الصفر).

${\displaystyle a-a=0\,}$

لأن

${\displaystyle a+0=a\,}$

لذلك يتم تعريف المعاكس الجمعى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا.

• المعاكس الجمعى لرقم ${\displaystyle a}$ هو الرقم ${\displaystyle (-a)}$ الذي يساوى مجموعهما الصفر.

${\displaystyle a+(-a)=0\,}$

• وهكذا تتحول عملية الطرح إلى عملية جمع باستبدال العدد المطروح بمعاكسه الجمعى أو العدد سالب

${\displaystyle a+(-b)=a-b\,}$

يتم تعريف عملية الضرب بتكرار الجمع. فمثلا

${\displaystyle 5\times 2=5+5=2+2+2+2+2=10\,}$

وهكذا.

• الضرب عملية تبديلية. وهذا يعنى أن ترتيب المعاملات حول عملية الضرب يساوى نفس النتيجة.

${\displaystyle a\times b=b\times a\,}$

• الضرب عملية تجميعية. وهذا يعنى أن ترتيب إجراء عملية الضرب لا يؤثر على النتيجة.

${\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c=a\times b\times c\,}$

• الضرب عملية توزيعية على الجمع. وهذا يعنى أن إجراء عملية ضرب على مجموع رقمين يساوى مجموع حاصل ضرب العدد مع كل من هذين العددين.

${\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c\,}$

• المحايد الضربى (الواحد) هو الرقم الذي لا يؤثر على عملية الضرب.

${\displaystyle a\times 1=1\times a=a\,}$

• القسمة عملية معاكسة للضرب.أي أن قسمة أي رقم على رقم آخر يساوى الفرق في تكرار الجمع بينهما الذي لو أضيف للرقم الثاني يساوى الرقم الأول.

${\displaystyle {a \over b}=c\,}$

${\displaystyle a=c\times b\,}$

• وهذا يعنى أن قسمة الرقم على نفسه لابد أن يساوى المحايد الضربى (الواحد).

${\displaystyle {a \over a}=1\,}$

لأن

${\displaystyle a\times 1=a\,}$

لذلك يتم تعريف المعاكس الضربى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا.

• المعاكس الضربى لرقم ${\displaystyle a}$ هو الرقم ${\displaystyle (a^{-1})}$ الذي يساوى حاصل ضربهما الواحد.

${\displaystyle a\times (a^{-1})=1\,}$

• وهكذا تتحول عملية القسمة إلى عملية ضرب باستبدال العدد المقسوم عليه بمعاكسه الضربى أو ما يسمى بمقلوب العدد

${\displaystyle a\times (b^{-1})={a \over b}\,}$

• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ و ${\displaystyle b=c\,}$ إذن ${\displaystyle a=c\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ إذن ${\displaystyle b=a\,}$

• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ و ${\displaystyle c=d\,}$ إذن ${\displaystyle a+c=b+d\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ إذن ${\displaystyle a+c=b+c\,}$ لأى رقم ${\displaystyle c\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ و ${\displaystyle c=d\,}$ إذن ${\displaystyle a\times c=b\times d\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ إذن ${\displaystyle a\times c=b\times c\,}$ لأى رقم ${\displaystyle c\,}$
• إذا وجد متغيرين متساويين يمكن استبدال أحدهما بما يساويه الآخر.
• إذا كان ${\displaystyle a>b\,}$ و ${\displaystyle b>c\,}$ إذن ${\displaystyle a>c\,}$ (علاقة التعدي)
• إذا كان ${\displaystyle a>b\,}$ إذن ${\displaystyle a+c>b+c,}$ لأى رقم ${\displaystyle c\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a>b\,}$ و ${\displaystyle c>0\,}$ اذن ${\displaystyle a\times c>b\times c\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a>b\,}$ و ${\displaystyle c<0\,}$ إذن ${\displaystyle a\times c<b\times c\,}$

بضرب طرفى المعادلة الثانية في 2.

${\displaystyle 4x+2y=14\,}$

${\displaystyle 4x-2y=2\,}$

بجمع المعادلتين نجد

${\displaystyle 8x=16\,}$

ومنها

${\displaystyle x=2\,}$

وبالتعويض في أي من معادلتى النظام يمكن استنتاج

${\displaystyle y=3\,}$

يعتمد هذا الحل على التعويض بالمعادلة المعبرة عن ${\displaystyle y\,}$ لاستنتاج قيمة ${\displaystyle x\,}$ ومن ثم التعويض بقيمة ${\displaystyle x\,}$ المستنتجة لإيجاد قيمة ${\displaystyle y\,}$.

بطرح ${\displaystyle 2x\,}$ من طرفى المعادلة الثانية نجصل على

${\displaystyle 2x-y-2x=1-2x\,}$

ويتم تبسيطها إلى

${\displaystyle -y=1-2x\,}$

وبضرب طرفى الأخيرة في ${\displaystyle -1\,}$ نحصل على

${\displaystyle y=2x-1\,}$

وبالتعويض بما يساوى ${\displaystyle y\,}$ في المعادلة الأولى في النظام

${\displaystyle 4x+2(2x-1)=14\,}$

${\displaystyle 4x+4x-2=14\,}$

${\displaystyle 8x-2=14\,}$

وبجمع ${\displaystyle 2\,}$ لطرفى هذه المعادلة نحصل على

${\displaystyle 8x=16\,}$ ومنها بالقسمة على ${\displaystyle 8\,}$ تكون

${\displaystyle x=2\,}$

وبالتعويض بقيمة ${\displaystyle x\,}$ في أي من معادلتى النظام تكون

${\displaystyle y=3\,}$

يعمد المثال التالي على أبسط الأمثلة للأنظمة غير قابلة للحل

${\displaystyle {\begin{cases}x+y=1\\0x+0y=2\end{cases}}\,}$

وذلك بسبب أن المعادلة الثانية ليس لها حل.

هناك أنظمة أخرى مثل

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,}$

عند إيجاد حل لهذا النظام نجد

${\displaystyle y=-2x+6\,}$

وبالتعويض

${\displaystyle 4x+2(-2x+6)=12\,}$

${\displaystyle 4x-4x+12=12\,}$

${\displaystyle 12=12\,}$

تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة غير صحيحة. إذا نتج عن هذا التعويض متساوية صحيحة يكون هذا النظام غير محدد.

في المثال التالي

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,}$

بعزل ${\displaystyle y\,}$ يكون

${\displaystyle y=-2x+6\,}$

و بالتعويض

${\displaystyle 4x+2(-2x+6)=12\,}$

${\displaystyle 4x-4x+12=12\,}$

${\displaystyle 12=12\,}$

تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة صحيحة. السبب الرئيسى في عدم وجود حلول محددة لهذا النظام هو أن أحد المعادلتين يساوى الأخرى مضروبة في ثابت. وتدعى هذه المعادلات متوازية.