نظرية التعقيد الحسابي

بشكل عام مُدخل (instance) لمسألة حاسوبية هو مجموعة معطيات ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{d}}$، والمسألة الحاسوبية هي حساب دالة متعلقة بهذه المعطيات.

مثال حساب المُحدد لمصفوفة: المدخلات لهذه المسألة هي القيم في المصفوفة والمُخرج هو المحدد، وقد يُنظر إلى المسألة على أنها مجموعة من المدخلات والمُخرج الملائم للمُدخل، ويمكن أن تكون المدخلات بأطوال مختلفة، وطول المُدخل هو كمية البتات اللازمة لترميز المُدخل بشكل ملائم، أي أن المُدخل يكون سلسلة (string) تابعة ل- ${\displaystyle \{0,1\}^{*}}$، مثال يمكن ترميز العدد بواسطة تمثيله بنظام العد الثنائي (الترميز الملائم للعدد 15 هو 1111)، أما ترميز المخطط فيكون بواسطة القيم في المصفوفة الملائمة له.

مسألة التقرير هي نوع خاص من المسائل الحاسوبية التي يكون جوابها إما نعم أو لا، أو 0 و 1، وهذا النوع من المسائل يُعرف أيضا باللغات، في حين أن الأعضاء التابعة لهذه اللغة هي المُدخلات التي جوابها نعم، والهدف يكون بإعطائنا مُدخل يجب التقرير إذا ما هو عضو في هذه اللغة أو لا وذلك بواسطة خوارزمية.

مثال: فلتكن مسألة تقرير إذا كان عدد معطى هو أولي، اللغة هي كل الأعداد الأولية، ولتقرير إذا كان مُدخل معين هو أولي نشغل الخوارزمية التالية: «فحص إذا ما كان العدد المعطى يقبل القسمة على أي عدد من 2 حتى العدد نفسه - ما عدا للعدد نفسه- ، إذا قَبِل (الجواب نعم) فهو ليس أولياً وخلاف ذلك العدد أولي».

مسائل دالة (function problem) هي مسائل يكون فيها لكل مُدخل مُخرجٌ وحيد، وتختلف هذه المسائل عن مسائل التقرير في أن مُخرجها قد يكون غير الإجابة بـ (نعم ولا).

مثال تحليل لعوامل أولية حيث يكون المُدخل هو عدد، والمُخرج هو التحليل لعوامل لهذا العدد، وقد يُعتقد أن مسائل الدالة أغنى من مسائل التقرير، ولكن هذا غير صحيح بالضرورة، إذ يمكن تحويل كل مسألة دالة إلى مسألة تقرير، وفي مثال التحليل لعوامل أولية المدخل هو عدد x، وقائمة أعداد x₁,x₂,...,x_d، والمُخرج هو نعم فقط إذا كان حاصل ضرب الأعداد هو x، إضافة إلى أن كل عدد بالقائمة هو أولي.

لقياس صعوبة مسألة حاسوبية وجب على المرء أن يقيس الوقت اللازم لأفضل خوارزمية كي تحل المسألة، وبشكل عام فالوقت قد يرتبط بطول المُدخل فالمُدخلات الطويلة حتماً ستحتاج وقتاً أطول للوصول إلى الحل. لذا فإن قياس الوقت اللازم لحل مسألة هو دالة مرتبطة بطول المُدخل، وبشكل عام طول المُدخل يكون ب الاثباتات، لذا فإن علم التعقيد بالأساس يبحث مدى قابلية الخوارزمية للتوسع.

فلنفرض أن n هو طول المُدخل، حينها يمكن التعبير عن الوقت اللازم للخوارزمية بواسطة n، وبما أن الوقت اللازم لحل المسألة قد يختلف تبعاً لكل مُدخل فإنه يُؤخذ بالاعتبار تعقيد وقت الحالة الأسوأ (T(n، والذي هو الوقت الأطول الذي ستحتاجه الخوارزمية بالنسبة لكل المدخلات.

إذا كانت (T(n حدودية، أي يوجد ثابت c > 0 بحيث أن (T(n)=O(n^c حينها نصف الخوارزمية بأنها (خوارزمية حدودية الوقت) أي أن وقت الخوارزمية هو وقت حل حدودي. وأطروحة كوبهام تقترح أن أي مسألة يمكن حلها بكمية معقولة من الموارد إذا وجدت خوارزمية تحلها بوقت حدودي.

وهي محاكاة نظرية لفكرة الحاسوب أي أن النموذج الحاسوبي هو آلة وهي التي تقوم بعمليات أساسية (قد تختلف من نموذج لآخر)، ونظرية التعقيد تسأل عن مجموعة العمليات الأصغر التي يمكنها حل المسألة، وأكثر النماذج شيوعا في نظرية التعقيد هي آلة تيورنج وهي آلة حاسوبية تعالج رموز مكتوبة على شريط العمليات، وهذا النموذج قد لا يكون عملي ولكن هناك إيمان إذا مسألة ما يمكن حلها بواسطة خوارزمية ما فحينها يمكن حل هذه المسألة بواسطة آلة تيورنج، وهذه الفرضية كانت المقال الأساسي في اطروحة تشيرش-تيورنج، وحسب ما هو معلوم كل ما يمكن حسابهُ بواسطة نماذج أخرى يمكن حسابه كذلك بواسطة آلة تيورنج. ولهذا السبب فان هذه الآلة هي الأكثر شيوعا في نظرية التعقيد.

أكثر النماذج الحاسوبية المستخدمة هي:

• 
  آلة تورنغ
• 
  الة سجل
• 
  الأوتومات غير المنتهي ذو المكدس
• 
  آلة الحالات المحدودة

ولكي يكون قياس التعقيد، والذي هو استخدام كمية مُعينة من الموارد مثل: الوقت أو المكان، دقيقا ومُعرفا بشكل رياضياتى سليم كانت الحاجة للنماذج الحاسوبية مثال: آلة تيورنج، وقد نعرف الوقت اللازم لحل مسألة بواسطة آلة تيورنج،M , مع المدخل للالة،x, هو عدد الخطوات أو التحول من وضعية لوضعية اللازمة للالة حتى التوقف والاتيان بالنتيجة (مثل: نعم أو لا). ونقول أنَّ آلة تيورنج، M , وقت عملها هو (f(n إذا كان الوقت اللازم للالة M على كل مُدخل طولة n هو (f(n . ونقول أنَّ مسألة يمكن حلها بوقت (f(n إذا يوجد آلة تيورنج M الوقت الذي تحتاجه لحل مُدخل طوله n هو (f(n . وبما أنَّ نظرية التعقيد اهتمامها بتصنيف المسائل حسب صعوبتها لذا فالمرئ يمكنه تعريف مجموعة مسائل تحقق معيار مُعين مثال ذلك المجموعة ((DTIME(f(n وهي مجموعة المسائل التي يوجد آلة تيورنج قطعية التي تحلها بوقت (f(n .

هنالك عدة مقاييس للتعقيد ولعل اهمها هو الوقت والمكان، ولعل بديهيات بلم (Blum axioms) في نظرية التعقيد تُعرف هذه المقاييس. مقاييس أخرى مُستخدمة في نظرية التعقيد هي تعقيد الاتصال وتعقيد الدارات المنطقية وتعقيد شجرة التقرير. وبشكل عام في قياس تعقيد الخوارزميات شاع استخدام رمز O الكبير.

تعقيد الحالة الأفضل والحالة الأسوأ والمتوسطة هي ثلاث طرق مختلفة لقياس تعقيد الوقت أو (أي مقياس اخر) لمُدخلات مختلفة من نفس الطول، وبما أنه باختلاف المُدخلات قد تكون بعض المُدخلات حلها اسرع من الأخريات لذا نعرف التالي:

• تعقيد الحالة الأفضل: وهو الوقت اللازم لحل مُدخل مسألة حيث أن هذا المُدخل يستلزم اقل وقت من بين كل المُدخلات المحتملة التي لها نفس الطول.
• تعقيد الحالة الأسوأ: وهو الوقت اللازم لحل مُدخل مسألة حيث أن هذا المُدخل يستلزم أكثر وقت من بين كل المدخلات المحتملة التي لها نفس الطول.
• تعقيد الحالة المتوسطة: وهو متوسط الوقت اللازم لحل كل المدخلات التي لها نفس الطول، وهذا التعقيد يمكن حسابه فقط بعد ان نفرض توزيع الاحتمال على المُدخلات.

لكي نصنف الوقت الحسابي للمسائل (أي الوقت اللازم لحل مسألة بواسطة نموذج حاسوبي معين) يجب على الشخص أن يبرهن الحدود الدنيا والعليا لكمية الوقت الاقل التي تستلزمها أفضل خوارزمية لحل المسألة، وبشكل عام تعقيد الخوارزمية هو تعقيد الحالة الأسوأ الا إذا حُدد غير ذلك، ولكي نبرهن أن لمسألة حد أعلى (T(n وجب تبيين خوارزمية التي تستلزم وقت (T(n. ولكن لكي نبرهن حد ادنى المهمة أصعب بكثير إذ على المرء أن يبين ان كل خوارزمية ممكنة لحل المسألة لا يوجد أي منها وقتها اقل من (T(n.

وللتوضيح: عندما نقول «كل خوارزمية» نعني أنه لا يمكن أن يكون هناك خوارزمية التي تستلزم وقتا اقل من (T(n حتى في المستقبل.

والحدود الدنيا والعليا لمسألة يعبر عنها بواسطة رمز O كبير.

قسم تعقيد هو مجموعة مسائل التي لها نفس التعقيد، وقد تعرف أقسام التعقيد حسب العوامل التالية:

• نوع المسألة الحاسوبية: وفي هذا الباب نوع المسألة الأكثر شيوعا هي مسألة التقرير ولكن هنالك أيضا أنواع أخرى مثل مسائل دالة، مسائل عد، مسائل استمثال أو مسائل وعد...
• نموذج الحاسوبية: ولعل الأكثر شيوعا هي آلة تيورنج القطعية ولكن هنالك استخدام لآلة تيورنج غير القطعية، دارات منطقية، آلة تيورنج كمومية...
• الموارد التي يتم حصرها والحدود: مثل وقت متعدد الحدود، مكان لغرتمي، عمق ثابت...

هنالك تصنيفات أكثر تعقيدا من هذه المذكورة هنا مثل: آلة تيورنج احتمالية، الآلات تيورنج تفاعلية، مسائل اتصال...

كثير من أقسام التعقيد يمكن تعريفها بواسطة تحديد الوقت أو المكان التي تستخدمها الخوارزمية، وفي هذا السياق يمكن تعريف بعض الأقسام كالتالي:

لقد تبين أن${\displaystyle NSPACE(f(n))\subseteq DSPACE(f^{2}(n))}$ وكذلك: ${\displaystyle PSPACE=NPSPACE}$ و ${\displaystyle EXPSPACE=NEXPSPACE}$ وهذا كله بواسطة مبرهنة سافيتش (Savitch theorem).

أقسام مهمة أخرى من ضمنها ZPP , BPP ,Co-RP,RP وهي تستخدم آلة تيورنج احتمالية في تعريفها، أما BQP و QMA ففيهما استخدم آلة تيورنج كمومية، أما NC و- AC وكذلك P/Poly تعرف بواسطة الدارات المنطقية، أما بالنسبة ل-P# فهو قسم مسائل عد واحد أهمها على الإطلاق، أقسام مثل: IP و-AM تستخدم نظام براهين تفاعلي، ALL هو قسم كل المسائل.

فلتكن ${\displaystyle L\in {\mbox{NP}}}$ نقول أنَّ ${\displaystyle L}$ مسألة ${\displaystyle {\mbox{NP}}}$ كاملة إذا تحقق:

• لكل ${\displaystyle L'\in {\mbox{NP}}}$ يتحقق: ${\displaystyle L'\leq _{p}L}$

نسمي ${\displaystyle {\mbox{NP-complete}}}$ قسم اللغات التي هي NP كاملة.

بشكل مشابه يمكن تعريف مسائل كاملة في كل قسم لغات مثل: ${\displaystyle {\mbox{P,PSPACE}},...}$ .

إن المسائل الكاملة تعتبر «مسائل صعبة» بمفهوم انه لو وُجد حل بوقت حدودي لإحداها هذا يعني أن كل المسائل في ${\displaystyle {\mbox{ NP}}}$يمكن حلها بوقت حدودي.

النظرية التالية تشرح هذا الأمر:

${\displaystyle {\mbox{NP-complete}}\cap {\mbox{P}}\neq \emptyset }$ إذا وفقط إذا ${\displaystyle {\mbox{NP}}={\mbox{P}}}$ .

الاكتفاء (مسماة بالإنجليزية SAT) مسألة NP كاملة، وقد كانت هذه أول لغة يُبرهن انها NP كاملة، واهميتها كانت بانها الشرارة التي أوقدت نظرية التعقيد الحسابي والسعي وراء النماذج الحسابية المختلفة.

بعد أن تم برهنة أن مسألة الاكتفاء هي NP كاملة تبين أن الآلاف المسائل هي أيضا كذلك.

ولعل أهم المسائل كاملة هي:

1. مسألة الاكتفاء (SAT)
2. مشكلة تلوين المخطط.
3. مشكلة المخطط الكامل ضمن مخطط.
4. مشكلة الرحالة التاجر.
5. مسار هاملتونياني.

هذه المبرهنات تعتبر نتائج أساسية بواسطتها يمكن فصل أقسام التعقيد، والحدس خلف هذه المبرهنات هو إذا كان لديك موارد أكثر باستطاعتك ان تفعل أكثر، ولهذه المبرهنات عدة نصوص إذ أنه لكل مورد ومقياس تعقيد يوجد نص خاص به، وندرج بعض هذه:

• إذا كانت (f(n يمكن حسابها بوقت ((O(f(n حيث أن (log(n)<f(n حينها: ${\displaystyle {\mbox{DTIME(f(n))}}\subsetneq {\mbox{DTIME(f(n)log(f(n)))}}}$
• فلتكن (s(n و- (g(n دالتين يمكن حسابهما بواسطة ((O(s(n و- ((O(g(n مكان حينها وإذا: (o(g(n))=s(n , حينها: ${\displaystyle {\mbox{SPACE(s(n))}}\subsetneq {\mbox{SPACE(g(n))}}}$

ونتيجة لهذه المبرهنات فأننا نحصل على: ${\displaystyle {\mbox{P}}\neq {\mbox{EXP}}}$ وكذلك: ${\displaystyle {\mbox{NP}}\neq {\mbox{NEXP}}}$ وكذلك: ${\displaystyle {\mbox{L}}\neq {\mbox{PSPACE}}}$، كما أن هذه الاثباتات بشكل ما تناقض أطروحة ادموندز- كوبهام إذ انه هذا يعني أن هنالك مسائل لا يمكن حلها بوقت اقل من ${\displaystyle {\mbox{n}}^{1000}}$ وبشكل واضح هذا الوقت يُعتبر غير واقعي وغير قابل للوصول حتى بالنسبة ل- n=2 !

من السهل ملاحظة أن المسائل الحتمية الحدودية (P) هي ضمن المسائل غير حتمية حدودية (NP)، لكن المسألة المقابلة والتي تسأل هل مجموعة المسائل غير حتمية مجموعة جزئية لمجموعة المسائل الحتمية؟ ولم يتمكن من الجواب عنها علماء المعلومات منذ سنة 1971 إلى الآن، هو هل هناك تساو أو اختلاف بين المجموعتين؟، وقد عُرض عام 2000 مكافئة قدرها مليون دولار لمن يحل المسألة وذلك بواسطة معهد كلاي.

تلقي هذه المسألة بظلها على كل مجالات العلوم الحديثة، ولحل هذه المسألة أهمية بالغة على تطور مجال علم التشفير، حيث انه لو NP=P حينها علم التشفير الحديث لن يكون له أي أهمية من الناحية النظرية، ولكن لو تحقق هذا فان مجال تصميم الشرائح الإلكترونية، تحليل الصور الرقمية، الذكاء الصناعي، وغيرها من المجالات ستتطور.

لقد بيَّن لاندر انه في حال انه ${\displaystyle {\mbox{P}}\neq {\mbox{NP}}}$ حينها يوجد مسائل التي لا تتبع P ولا تتبع NP كاملة، للان لم يبرهن أحد على وجود مثل هذه المسائل، ولكن هنالك حدسيات عن بعض المسائل التي محتمل جدا ان تكون كذلك منها: تحليل لعوامل، تطابق المخططات (graph isomorphism), ...