نظرية التحكم

في نظم التحكم المفتوحة، يعمل المتحكم بشكل مستقل عن المخرجات. وكمثال على ذلك، يمكننا أن نفترض غلاية كهربائية تعمل فقط تحت تأثير عداد الزمن (بالإنجليزية: timer). في هذا النظام، تقوم الغلاية بتسخين الماء طالما لم يصل العداد إلى نهاية الزمن. وبالتالي تكون المدخلات لهذا المتحكم هي مخرجات العداد، والمخرجات للمتحكم هنا هي درجة حرارة الماء. تستمر الغلاية في التسخين حتى ولو وصلت درجة حرارة الماء إلى الغليان، طالما العداد لم يصل إلى نهايته. الشكل الموضح أدناه يوضح الغلاية الكهربية كمثال لنظام مفتوح:

في هذا النظام يكون المتحكم هو الغلاية، ومدخلات النظام هي قيمة العداد الزمني. أما المخرجات فهي الفعل (تسخين أو  عدم التسخين). ودرجة حرارة الماء هي المتغير الذي يتم التحكم فيه.

في نظم التحكم المغلقة، يعتمد عمل التحكم على المخرجات. وكمثال على ذلك، يمكننا أن نفترض أن الغلاية الكهربائية التي قمنا بعرضها أعلاه تم تعديلها بحيث تحتوي على ثرموستات يراقب درجة الحرارة، وعندما تصل درجة حرارة الماء إلى الغليان، تقوم الغلاية بفصل نفسها أوتوماتيكيًا، حتى ولو لم يصل العداد إلى نهايته. في هذه الحالة فإن مدخلات المُتحكِم هي الفرق بين درجة الحرارة المطلوبة (وتسمى نقطة الضبط Set Point) ودرجة الحرارة الحالية (وتسمى التغذية الراجعة Feedback). الفرق بين القيمتين يسمى الخطأ (error)، وهدف المتحكم هو محاولة تقليل الخطأ لأقصى درجة. الشكل أدناه يوضح مثال الغلاية المعدّلة كنظام تحكم مغلق:

في هذه الحالة فإن المدخلات للمتحكم (الغلاية) هي الفرق بين قيمة المرجع (الضبط)وقيمة التغذية المرتدة (الراجعة)، وهو ما يسمى  بالخطأ. والمخرجات هنا هي عمل الغلاية (تسخين أو عدم تسخين) ويعتمد على قيمة الخطأ ونوع المتحكم. ودرجة حرارة الماء هو المتغير الذي يتم التحكم فيه ويُقَاس من خلال وصلة التغذية المرتدة (باستخدام مستشعر).

وفيها يُمثَّل كل مكون من مكونات النظام على شكل كتلة، ويتم الربط بين الكتل باستخدام الأسهم. يحمل كل سهم اسم متغير، ولكل كتلة سهم يعبر عن متغير الدخل input وسهم آخر يعبر عن متغير الخرج output. يمكن تمثيل نظام الغلاية المغلق الموضح أعلاه على شكل رسم كتليّ (مخطط كتليّ)كما يلي (كمثال):

نلاحظ أنه تم تقسيم الغلاية إلى مكونين: المتحكم controller ومخرجه c دالة رياضية تعبر عن تشغيل المسخن heater أو إيقافه. أما ذراع التشغيل (بالإنجليزية: actuator) فهو يمثل المسخن heater نفسه. ويعمل ذراع التشغيل حسب خرج المتحكم، ويؤثر مباشرة في متغير الخرج y، والذي يمثل في هذه الحالة درجة حرارة المياه. أما المتغير x فهو يمثل درجة الحرارة التي نرغب في الوصول إليها (set point). والفرق بين x وy هو ما يسمى بالخطأ e وهو ما يؤثر على عمل المتحكم. في أنظمة أخرى ممكن أن يكون مثلا ذراع التشغيل هو ذراع يتحكم في محبس valve، ويعبر y وx عن تدفق المياه من خلال المحبس. ويقوم المتحكم بتحريك ذراع التشغيل لأعلى ولأسفل حسب إشارة الخطأ e، وعندها تمثل c مثلا قيمة القوة المؤثرة أو العزم المؤثر على الذراع، ويقوم بإيقاف حركة الذراع (بوضع c مساوية للصفر) إذا اقترب الخطأ من الصفر. نلاحظ أيضاً أن المتغيرات في الرسم كلها تعتمد على الزمن t.

وفيها يتم تمثيل النظام على شكل عقد (بالإنجليزية: nodes) وفروع (بالإنجليزية: edges) تربط بينها. تمثل العقدة متغيرا، وتمثل الفروع معاملات خطية يتم ضربها في الفروع على حسب التدفق.

يمكن اختزال مخطط الكتلة block diagram الخاص بنظام تحكم مغلق closed-loop control system على شكل كتلة block واحدة لها transfer function تعبر عن العلاقة بين متغير المدخل (set point) ومتغير المخرج (output variable). مثلا دعنا نفترض نظام التحكم العام التالي:

يمكن التعبير عن المتغير E بالمعادلة التالية:

${\displaystyle E(s)=X(s)-Y(s)H(s)}$

أما المتغير Y فهو يكافئ:

${\displaystyle Y(s)=E(s)G(s)}$

وبالتعويض عن E باستخدام المعادلة الأولى:

${\displaystyle Y(s)=G(s)(X(s)-Y(s)H(s))}$

وبالتوزيع وإعادة ترتيب المتغيرات:

${\displaystyle Y(s)+Y(s)G(s)H(s)=G(s)X(s)}$

الآن يمكننا ترتيب المعادلة لتصبح ع الصورة التالية

${\displaystyle {\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

وهي معادلة تعبر عن العلاقة بين مخرج النظام Y ومدخل النظام X، وبالتالي فهي معادلة دالة التحويل transfer function التي تعبر عن النظام المرسوم أعلاه، ولهذا يمكن استبدال مخطط الكتلة أعلاه بكتلة واحدة تعبر عن دالة التحويل الخاصة بالنظام:

العلاقة التي عن طريقها يعرف النظام من نوع P هي:
${\displaystyle \ a(t)=K_{p}.e(t)}$
حيث: ${\displaystyle a(t)\,}$ تمثل الخرج بينما ${\displaystyle e(t)\,}$ الخطأ أو الدخل وKp ثابت يعرف بمقدار التناسب أو التكبير. وهذه العلاقة يمكن التعبير عنها في مجال الترددات وذلك باستعمال تحويل لابلاس كما يلي:
${\displaystyle \ A(s)=K.E(s)}$
وقد تم اختيار الحرف P لتسمية هذا النوع من الكونترولر للإشارة إلى أن المخرج proportional أي تناسبي أي تناسب المدخل والمخرج.

العلاقة التي عن طريقها يعرف النظام من نوع I هي:
${\displaystyle a(t)={\frac {1}{T_{I}}}\int e(t)}$
حيث: T_I تمثل الميل أو زمن إعادة الضبط Reset. وهذه العلاقة يمكن التعبير عنها في مجال الترددات وذلك باستعمال تحويل لابلاس كما يلي:
${\displaystyle A(s)={\frac {1}{T_{I}.s}}E(s)}$
وقد تم اختيار الحرف I لتسمية هذا النوع من الكونترولر للإشارة إلى كلمة Integral أي أن نظام التحكم تكاملي

العلاقة التي عن طريقها يعرف النظام من نوع D هي:
${\displaystyle a(t)=T_{D}.{\dot {e(t)}}}$
حيث: T_D تمثل المعدل Rate. وهذه العلاقة يمكن التعبير عنها في مجال الترددات وذلك باستعمال تحويل لابلاس كما يلي:
${\displaystyle \ A(s)=s.T_{D}.E(s)}$
وقد تم اختيار الحرف D لتسمية هذا النوع من الكونترولر للإشارة إلى كلمة differential ويجدر بالذكر أن الأنظمة السابقة لاتوجد منفردة (في حالات خاصة يمكن استعمال P فقط) وإنما خليط من نوع P مع I أو P مع I مع D. كذلك لايوجد تطبيق عملي للنوع P مع D.