هندسة تحليلية

حلحل عالم الرياضيات اليوناني مينايخموس معضلات وبرهن على مبرهنات باستعمال طرقا تملك الكثير من الشبه مع نظام الإحداثيات وقد قيل في بعض الإحيان أنه هو من ابتكر الهندسة التحليلية.

في القرن الحادي عشر الميلادي، رأى عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام علاقة قوية بين الجبر والهندسة، متجهاً نحو الاتجاه الصحيح حينما ساعد على سد الفراغ الموجود بين الجبر العددي والجبر الهندسي من خلال حلحلته الهندسية للمعادلات التكعيبية العامة، ولكن الخطوة النهائية أتت فيما بعد مع ديكارت.

عادة ما تنسب الهندسة التحليلية إلى ديكارت الذي حقق تطورات مهمة نشرها في عمل له عنوانه الهندسة. كتب هذا العمل باللغة الفرنسية ونُشر عام 1637. ولكن بيير دي فيرما كان أيضا من السباقين في تطور الهندسة التحليلية.

الهندسة الديكارتية هي تسمية محتملة للهندسة التحليلية. سميت هكذا نسبة إلى ديكارت.

أكثر نظم الإحداثيات استعمالا وانتشارا هو نظام الإحداثيات الديكارتي، وفيه يتم تمثيل كل نقطة بزوج مرتب من الإحادثيات يُرمز له بالرمز: (س، ص) أو بالإنجليزية (من اليسار إلى اليمين): ${\displaystyle (x,y)}$. حيث تمثل (س) الإحداثي الأفقي، وتمثل (ص) الإحداثي الرأسي. ويمكن توسيع ذلك عند الحديث عن الفراغ الثلاثي الأبعاد أو ما يُعرف بالفضاء الإقليدي حيث نستخدم الإحداثي الثالث (ع) أو ${\displaystyle (z)}$ ليتم التعبير عن النقطة على صورة: (س، ص، ع) أو بالإنجليزية: ${\displaystyle (x,y,z)}$.

يتم تمثيل كل نقطة في المستوي ببعدها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى نقطة الأصل (0، 0). يسمي المستقيمان المتعامدان محوري الإحداثيات. المحور الأفقي هو المحور السيني (س) أو محور ${\displaystyle (x)}$ أو محور الأفاصيل، والمحور الرأسي هو المحو الصادي (ص) أو محور ${\displaystyle (y)}$ أو محور الأراتيب. يحدد موقع النقاط في المستوي بإعطائها إحداثيين على خطي الأعداد على صورة (س، ص) أو بالإنجليزية ${\displaystyle (x,y)}$.

ويسمي ${\displaystyle x}$ الإحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة بالنسبة لمحور السينات بينما يحدد ${\displaystyle y}$ الإحداثي الصادي موقع النقطة بالنسبة لمحور الصادات ويكتب هذان الإحداثيان على صورة زوج مرتب ${\displaystyle (x,y)}$.

• ترتبط كل نقطة في المستوي بزوج مرتب وحيد من الأعداد ${\displaystyle (x,y)}$ وأيضا كل زوج مرتب يرتبط بنقطة واحدة وواحدة فقط في المستوي.
• محوري الإحداثيات يقسمان المستوي الإحداثي إلى أربعة أجزاء :
  • الربع الأول: وفيه كل نقطة ${\displaystyle (x,y)}$ تحقق الشرطين:${\displaystyle (x>0,y>0)}$.
  • الربع الثاني: وفيه كل نقطة ${\displaystyle (x,y)}$ تحقق الشرطين:${\displaystyle (x<0,y>0)}$.
  • الربع الثالث: وفيه كل نقطة ${\displaystyle (x,y)}$ تحقق الشرطين:${\displaystyle (x<0,y<0)}$.
  • الربع الرابع: وفيه كل نقطة ${\displaystyle (x,y)}$ تحقق الشرطين:${\displaystyle (x>0,y<0)}$.

كذلك يمكن وصف المحور السيني والمحور الصادي كمجموعة من النقاط كالتالي :

• المحور السيني : وفيه كل نقطة ${\displaystyle (x,y)}$ تحقق الشرط:(y = 0).
• المحور الصادي: وفيه كل نقطة ${\displaystyle (x,y)}$ تحقق الشرط:(x = 0).

في نظام الإحداثيات القطبية، تمثَّل كل نقطة في المستوى الإقليدي بالمسافة r التي تفصلها عن أصل المعلم وبالزاوية θ علما أن هذه الزاوية تُقاس ابتداءا من محور الأفاصيل، من الجهة الموجبة (أي جهة اليمين)، وفي عكس عقارب الساعة. باستعمال هاتين القاعدتين، تمثَّل نقط المستوى بزوج مرتب (r, θ). المرور من نظام إحداثيات ديكارتي إلى نظام إحداثيات قطبي وعكس ذلك مُمكنان باستعمال الصيغ التالية:

${\displaystyle x=r\,cos\theta ,\,y=r\,sin\theta$ ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x)} .

يعمم هذا النظام إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد باستعمال نظام إحداثي أسطواني أو نظام إحداثي كروي.

في النظام الإحداثي الأسطواني، كل نقطة في الفضاء ممثلة بارتفاعها z، وبشعاعها r المبتعدة به عن المحور z، وبالزاوية θ، التي يكونها إسقاط النقطة على المستوى xy نسبة إلى المحورين الأفقيين (أي محوري الأفاصيل والأراتوب).

في النظام الإحداثي الكروي، كل نقطة في الفضاء ممثلة بالمسافة التي تفصلها عن أصل المعلم، وبالزاوية التي يكونها إسقاط هذه النقطة على المستوى xy نسبة إلى المحورين الأفققين وبالزاوية التي تكونها هذه النقطة نسبة إلى محور الارتفاعات z.

الصيغة التي تعطي المسافة بن نقطتين في المستوى تنبثق من مبرهنة فيثاغورس.

لتكن ${\displaystyle [AB]}$ قطعة مستقيمة حيث ${\displaystyle A=(x_{a},y_{a})}$ و ${\displaystyle B=(x_{b},y_{b})}$ معرفتين في المستوى. المسافة بين النقطتين ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$هي :

${\displaystyle AB={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}\!}$

وفي الشكل المجاور تكون المسافة ${\displaystyle [d]}$ بين النقطتين ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ و ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ تعطى بالقانون:

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\!}$

تقوم الهندسة التحليلية بوصف الأشكال الهندسية بطريقة جبرية عددية، واستخراج معلومات رقمية من تمثيلات هندسية. مثال الشكل الجبري للدائرة هي : ${\displaystyle (x-2)^{2}+(y-2)^{2}=25}$ حيث نصف قطر الدائرة هنا هو 5 الذي حصلنا عليه من جذر الطرف الآخر من المعادلة.

إحداثيا نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة AB هي :

${\displaystyle [(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]}$

ميل الخط المستقيم هو ظل الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم. ويساوي التغير في الاحداثيات الصادية إلى التغير في الاحداثيات السينية.

المستقيم الذي يمر بالنقطتين (x1،y1) و (x2،y2) ميله هو:

م= (y2-y1)/(x2-x1) حيث x1 لا تساوي x2.

م= ظاهـ، حيث هـ هي الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم.

المستقيم الذي يوازي محور الصادات ميله غير محدد، والمستقيم الذي يوازي محور السينات ميله يساوي صفرا.