قطع ناقص

مقطع في مخروط يمثل قطعا ناقصا.

أنظر الشكل 1: النقطة x هي إحدى النقط على القطع الناقص. والنقطتان F1 و F2 هما بؤرتا القطع الناقص. إذا وصـّلنا خيطا طويلا شيئا ما بين البؤرتين وقمنا من النقطة x برسم محيط حولهما نحصل على شكل القطع الناقص.

إذا أقمنا العمودي على خط المماس عند النقطة P فإن العمودي يقسم الزاوية بين الخط xF2 والخط xF1 إلى زاويتين متساويتين (انظر الشكل 1 أو الشكل 3).

شكل 3 :العمودي على المماس عند أي نقطة P ينصف الزاوية التي يمر ضلعيها ببؤرتي القطع الناقص.

دعونا نرى بعض النتائج المترتبة على هذا البيان:

في طاولة بلياردو على شكل إهليلج، إذا القينا كرة على حفتها من إحدى بؤرتيها ستنعكس بالضرورة على البؤرة الأخرى.

والشيء نفسه يحدث في مرآة مقعرة على شكل إهليلج فيه جميع أشعة الضوء المنبعثة من بؤرة تمر بالضرورة بالبؤرة الأخرى بغض النظر عن اتجاه كل شعاع.

وبالمثل، في غرفة على شكل قطع ناقص تصل الموجات الصوتية التي تبدأ في بؤرة إلى البؤرة الأخرى من كل الاتجاهات؛ وبما أن مسافة المسار للوصول من بؤرة إلى أخرى متساوية فإن موجات تصل بشكل متزامنة تماما: هذا ما يفسر أيضا سهولة التواصل السمعي بين شخصين موضوعين في البؤرتين حتى إذا ما كانا متباعدين.

باستخدام خواص القطع الناقص يمكن بناء مسرحا يتمتع فيه جميع الزوار بسماع الصوت منتظما.

شكل4:القطع الناقص وبعض خواصه:
المحور الأكبر هي المسافة بين a , -a
المحور الأصغر هي المسافة b , -b
PF1+ PF2 =2a
e=PF2/PD
e= معامل التباعد المركزي.

يمكن رسم القطع الناقص في هيئة منحنى في مستوى كارتيزي بالاستعانة بخط خارجه يسمى الدليل D (أنطر الشكل 4):

وفيه ينطبق: ${\displaystyle PF2=e.PD}$

أي أن حاصل ضرب أي خط مثل PD في معامل التباعد المركزي e يساوي الخط PF2.

حيث P هي نقطة على محيط القطع الناقص والمسافة PD هي بعدها عن الدليل D (الخط الرأسي المنقط الأزرق). PD يسقط دائما عموديا على الدليل D .

أي أن الاختلاف المركزي قيمته:

${\displaystyle PF2/PD=e}$

في الرسم البياني الكرتيزي يمكننا تمثيل النقطة ${\displaystyle P}$ بالنقطة ${\displaystyle (x,y)\,}$ على المحورين x , y :

فتكون ${\displaystyle F2\,}$ إحدى البؤرتين و F1 هي البؤرة الثانية للقطع الناقص.

بالنسبة إلى ${\displaystyle e\,}$ معامل التباعد المركزي فهو للقطع الناقص يساوي دائما ${\displaystyle (1>e>0)\,}$.

(إذا كانت e=1 ينتج قطعا مكافئا، وإذا كانت e>1 ينتج قطعا زائدا، وإذا كانت e=0 تنتج دائرة) وتجتمع فيها البؤرتان في بؤرة واحدة.) نسبة المسافة بين النقطة P والبؤرة والمسافة بين P والدليل ثابتة وتساوي معامل التباعد المركزي ${\displaystyle e\,}$.

يمكن تبسيط معادلة القطع الناقص في النظام الكرتيزي بدلالة القطرين a وb بالمعادلة:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$

لاحظ العلاقة الخاصة عندما يكون a مساويا لـ b يمكن الحصول على معادلة الدائرة (بوضع ${\displaystyle a=b=R\,}$)

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}={\frac {x^{2}}{R^{2}}}+{\frac {y^{2}}{R^{2}}}=1\,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}\,}$

يعطى معامل التباعد المركزي أيضا بالعلاقة:

${\displaystyle e=\varepsilon ={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}}$

كما أن المسافة من أي من البؤرتين إلى المركز C هي حاصل الضرب ${\displaystyle e.a\,}$, وهي تساوي أيضا ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

يمكن إعادة تعريف القطع الناقص عندما تنزاح محاوره عن نقطة الأصل إلى نقطة ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\,}$ على الصورة:

${\displaystyle {\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}=1\,}$

رسم قطع ناقص معلوم 5 نقاط[4]

هناك العديد من الطرق منها مايلي.

طريقة الخيط والمسمارين

رسم القطع الناقص: طريقة غاردنر.

صورة متحركة لطريقة الخيط والمسمارين

تعتبر هذه الطريقة من أدق الطرق المستعملة في رسم القطاعات الناقصة كما تتميز بسهولة استخدامها إذ تعتمد فقط على تحريك خيط مثبت بين مسمارين. لرسم قطع ناقص يمكن اتباع التعريف والستعانة بخيط مرن (مثل خيط إبرة الخياط) وعمل الاتي:

• من تعريف القطع الناقص فإن مجموع أي ضلعين ممتدين من البؤرة وملتقيان في الطرف الآخر على المحيط يكون ثابتا (أزرق). وهذا يمثل طول الخيط الإجمالي L.
• لتحديد طول الخيط L ينطبق ${\displaystyle L=2a\,}$.
• لتحديد البعد بين البؤرتين المراد تثبيت طرفي الخيط عليهما نعلم أن القطع الناقص يميزه اختلاف مركزي يساوي e .
• الآن بمعرفة البعد بين البؤرتين يمكن تثبيت الخيط بمسمارين البعد بينهما يساوي 2a. e والبدء بتحريك قلم أو أداة الرسم لتنزلق حول الخيط المشدود وتكمل محيطا مغلقا.

الاختلاف المركز e للقطع الناقص قيمته دائما بين 0 و 1 .

وفي الحالة الخاصة عندما تكون e=0 يكون الناتج دائرة.

لهذ نسمي e معامل التباعد المركزي.

طريقة المسطرة والإطار

طريقة المسطرة والإطار

في هذه الطريقة تثقب المسطرة من نقطة غير الوسط (لغير الدائرة) وتنزلق بين ضلعي إطار متعامدين. إذا وضع قلم الرسم مثلا داخل الثقب سيتم رسم ربع قطع الناقص في كل انزلاق مكتمل.

رسم النقاط على أساس الصيغة البارامترية واستخدام الإحداثية لإحداثيى t التي ترجع إلى دي لاهير.

قطع ناقص: شكل متحرك لطريقة دي لاهير.

باستخدام معادلات حساب المثلثات ${\displaystyle \cos ,\sin }$ يمكن صيغة القطع الناقص ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

حيث:

• ${\displaystyle (x,y)=(a\cos t,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \ .}$

ترجع الإحداثية t المستخدمة في الرسم إلى عالم الرياضيات فيليب دي لاهير.[5]

حيث:

t متغير بارامتري (ليس زاوية حقيقية)

تساوي مساحة القطع الناقص ${\displaystyle A_{\text{ellipse}}}$:

${\displaystyle A_{\text{ellipse}}=\pi ab}$

حيث ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ هما طولا نصف المحور الأكبر والأصغر، على التوالي. صيغة المساحة ${\displaystyle \pi ab}$ بديهية: نبدأ بدائرة نصف قطرها ${\displaystyle b}$ (لذا فإن مساحتها هي ${\displaystyle \pi b^{2}}$) ونضربها في المعامل ${\displaystyle a/b}$ لعمل القطع الناقص ${\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab}$ . من السهل أيضًا إثبات صيغة المساحة بدقة باستخدام التكامل على النحو التالي. يمكن كتابة معادلة القطع الناقص على النحو التالي${\displaystyle y(x)=b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}}$ . من أجل ${\displaystyle x\in [-a,a]}$ ، هذا المنحنى هو النصف العلوي للقطع الناقص. لذا فإن ضعف تكامل ${\displaystyle y(x)}$ على المجال ${\displaystyle [-a,a]}$ سيكون ضعف مساحة القطع الناقص:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{ellipse}}&=\int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,dx\\&={\frac {b}{a}}\int _{-a}^{a}2{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}$

التكامل الثاني هو مساحة دائرة نصف قطرها ${\displaystyle a}$، أي ${\displaystyle \pi a^{2}}$ . إذن:

${\displaystyle A_{\text{ellipse}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}$

ليكن a نصف محوره الكبير وb نصف محوره الصغير، يُحسَب محيط القطع الناقص ${\displaystyle C}$ بتطبيق هذا القانون:

${\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}$

حيث ${\displaystyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$ هو معامل التباعد المركزي، و ${\displaystyle E}$ هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني:

${\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta .}$

• تعبير عن المحيط بواسطة المتسلسلة اللانهائية:

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=2\pi a\left[{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots }\right]\\&=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right],\end{aligned}}}$

حيث n!! هو عاملي ثنائي.

قطع ناقص (أحمر) نحصل علية بقطع مخروط بمستوي مائل. بحيث يقطع جميع رواسم المخروط

وبطريقة أشمل

${\displaystyle C=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{\varepsilon ^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace };\,\!}$

كما تعطي طريقة رامانجن تقريبا أفضل:

${\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]}$

وبتقريب آخر:

${\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right);\!\,}$

كحالة خاصة عندما يكون القطر الأصغر نصف الأكبر:

${\displaystyle C\approx {\frac {\pi a(9-{\sqrt {35}})}{2}}}$

وبتقريب مكتسب عمليا:

${\displaystyle C\approx {\frac {a}{2}}{\sqrt {93+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}}}$

• 
  تحديد المسافتين الأدنى الأقصى (الملونتين بالاحمر والاصفر) بين إهليلجين غير متشابهين (الملونين بالارجواني)[6]

• لا مركزية (رياضيات)
• بيضوي
• قطع مخروطي
• مخروط
• إسطوانة
• سطح ناقص
• نصف المحور الرئيسي
• نظام إحداثيات إهليلجي
• منحنى حلقي، منحنى موازي للإهليلج

• مرسمة قطع ناقص

• بوابة الرسوميات الحاسوبية
• بوابة القمر
• بوابة أعلام
• بوابة علم الفلك
• بوابة علوم
• بوابة هندسة رياضية
• بوابة المجموعة الشمسية
• بوابة تقانة
• بوابة رياضيات

جزء من سلسلة مقالات حول
الهندسة الرياضية
الخطوط العريضة [الإنجليزية] التاريخ
الفروع إقليدية لاإقليدية إهليلجية كروية زائدية لا أرخميدية [الإنجليزية] إسقاطية نسبية تركيبية تحليلية جبرية حسابية ديوفانية [الإنجليزية] تفاضلية ريمانية هندسة تماسكية عقدية منتهية متقطعة رياضية رقمية محدبة رياضية حاسوبية وقعية [الإنجليزية]
المبادئ الخواص بعد الإنشاء بالمسطرة والفرجار زاوية منحنى ضلع قطري تعامد رياضي (تعامد هندسي) تواز رأس تطابق تشابه تناظر
صفري الأبعاد نقطة
وحيد البعد الطول مستقيم قطعة مستقيمة
المُسطَّحات مستو مساحة مضلع المثلثات مثلث الارتفاع الوتر مبرهنة فيثاغورس متوازيات الأضلاع متوازي أضلاع مربع مستطيل معين شبه معين رباعيات الأضلاع رباعي أضلاع شبه منحرف طائرة ورقية المنحنيات دائرة القطر المحيط المساحة قطع ناقص
المُجسَّمات حجم مكعب متوازي مستطيلات أسطوانة هرم كرة
ما فوق البعد الثالث مكعب رباعي الأبعاد كرة نونية الأبعاد
علماء الهندسة
وفق الاسم أيدا أريابهاتا أحمس [الإنجليزية] ابن الهيثم أبلونيوس أرخميدس عطية بولياي براهماغوبتا كارتن كوكستر ديكارت إقليدس أويلر غاوس غروموف هيلبرت جيهاديفا [الإنجليزية] كاتيايانا الخيَّام كلاين لوباتشيفسكي مانافا [الإنجليزية] مينكوفسكي مينغاتو [الإنجليزية] باسكال فيثاغورس باراميشفارا [الإنجليزية] بوانكاريه برنارد ريمان سكابي [الإنجليزية] السجزي الطوسي فيبلين [الإنجليزية] فيراسينا [الإنجليزية] يانغ هوي [الإنجليزية] ابن الياسمين زانج قائمة علماء الهندسة
وفق الحقبة قبل الميلاد أحمس [الإنجليزية] مانافا [الإنجليزية] فيثاغورس إقليدس أرخميدس أبلونيوس 1–1400م زانج كاتيايانا أريابهاتا براهماغوبتا فيراسينا [الإنجليزية] ابن الهيثم السجزي الخيَّام ابن الياسمين الطوسي يانغ هوي [الإنجليزية] باراميشفارا [الإنجليزية] 1400–1700م جيهاديفا [الإنجليزية] ديكارت باسكال مينغاتو [الإنجليزية] أويلر سكابي [الإنجليزية] أيدا 1700–1900م غاوس لوباتشيفسكي بولياي برنارد ريمان كلاين بوانكاريه هيلبرت مينكوفسكي كارتن فيبلين [الإنجليزية] كوكستر معاصرون عطية غروموف
بوابة هندسة رياضية