قطع مخروطي

يمكن تمثيل معادلة القطع المخروطي بأشكال مختلفة منها:

1. إذا كان الاختلاف المركزي يساوي ھ وكانت البؤرة عند نقطة الأصل (0,0) والدليل مستقيما عموديا على محور السينات يقطعه على بعد ف فإن معادلة القطع المخروطي تعطى بالمعادلة التالية:

(1 - ھ^2) س^2 + 2ھ^2 ف س + ص^2 = ھ^2 ف

1. معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين س، ص ويمكن كتابة هذه المعادلة على الصورة التالية:

أ س^2 + 2ب س ص + جـ ص^2 + 2د س + 2ھ ص + و = 0

في النظام الإحداثي الديكارتي يكون منحنى دالة تربيعية في متغيرين دوما قطعا مخروطيا، وكل القطوع المخروطية تتكون بهذه الطريقة. معادلتها تكون في الصورة:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$ حيث ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ ليسوا جميعًا أًصفارًا.

نحسب المميّز ${\displaystyle B^{2}-4AC}$ لمعرفة نوع القطع.

• إذا كان ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$، نحصل على معادلة قطع ناقص (مالم يكن المخروط منحلا، مثلًا ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10=0}$)؛
  • إذا كان ${\displaystyle A=C}$ و${\displaystyle B=0}$ المعادلة تمثل دائرة؛
• إذا كان ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$، نحصل على معادلة قطع مكافئ.
• إذا كان ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$، نحصل على معادلة قطع زائد.
  • أيضاًإذا كان ${\displaystyle A+C=0}$ ، نحصل على معادلة قطع زائد مستطيل.

لاحظ أن A و B هي معاملات لا تمثل أي أطوال للمحاور الأكبر والأصغر كما سيتم تعريفها في القسم التالي

في تعبير المصفوفات تصبح المعادلات السابقة كالتالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+Dx+Ey+F=0.}$

أو

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}=0.}$

و

${\displaystyle B^{2}-4AC=-4\left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|}$.

رغم تغيير الإحداثيات يمكن وضع هذه المعادلات في صورة قياسية:

• الدائرة: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,}$
• القطع الناقص: ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1,\;{x^{2} \over b^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1}$
• القطع المكافئ:${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$, ${\displaystyle x^{2}=4ay\,}$
• القطع الزائد:${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1,\;{x^{2} \over b^{2}}-{y^{2} \over a^{2}}=-1}$
• القطع الزائد المستطيل:${\displaystyle xy=c^{2}\,}$

مثل هذه الصيغ تكون متماثلة حول محور x، وفيما يخصُّ الدائرة والقطع الزائد والناقص حول محور y و القطع الزائد المستطيل هي حالة التماثل الوحيدة التي تكون حول ${\displaystyle y=x}$ و${\displaystyle y=-x}$. لذلك فان دالتها العكسية هي نفس الدالة الأصلية.

يمكن كتابة هذه الصيغ القياسية في صورة معادلات وسيطية (بارامترية):

• الدائرة: ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta )}$
• القطع الناقص: ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta )}$
• القطع المكافئ: ${\displaystyle (at^{2},2at)}$
• القطع الزائد: ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta )}$ أو ${\displaystyle (\pm a\cosh u,b\sinh u)}$
• القطع الزائد المستطيل:${\displaystyle \left(ct,{c \over t}\right)}$

في الإحداثيات المتجانسة، القطع المخروطي يمكن تمثيلها كالتالي:

${\displaystyle A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0.}$

أو بتعبير المصفوفات:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0.}$

المصفوفة ${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}}$ تدعى «مصفوفة القطع المخروطي». ${\displaystyle \Delta =\det(M)=\det \left({\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}\right)}$ تدعى محددة القطع المخروطي. إذا كان Δ = 0 فإن القطع المخروطي يسمى «منحلًا Degenerate»، وهذا يعني أنه في الحقيقة عبارة عن اتحاد خطين مستقيمين. أي قطع مخروطي يتقاطع مع نفسه هو قطع منحلة، ولكن ليس كل القطوع المنحلة تقاطع نفسها، وفي هذه الحالة يكون القطع خطًا مستقيماً.

على سبيل المثال القطع المخروطي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$ يختزل اتحاد المستقيمين:

${\displaystyle \{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}}$.

وبالمثل يختزل القطع المخروطي أحيانًا خطًا مفردا:

${\displaystyle \{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}}$.

${\displaystyle \delta =\det \left({\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{bmatrix}}\right)}$ يدعى مميز القطع المخروطي. إذا كان δ == 0 فالقطع المخروطي مكافئ، إذا كان δ<0 فهو زائد، واذا كان δ>0 فهو ناقص. إذا كان δ>0 و A₁ = A₂ فهي دائرة، أما إذا كان δ<0 و A₁ == -A₂ فهو قطع زائد مستطيل. يمكن اثبات أنه في مستوى الإسقاط المركب CP² قطعين مخروطيين بينهما 4 نقاط مشتركة (إذا أخذنا في الاعتبار التعددية Multiplicity)أي لا يوجد أكثر من 4 نقاط تقاطع وتوجد دائمًا نقطة تقاطع واحدة (الاحتمالات: 4 نقاط تقاطع مختلفة، أو نقطتي تقاطع فرديتين ونقطة تقاطع مزدوج، أو نقطتي تقاطع مزدوج، أو نقطة تقاطع فردي ونقطة تقاطع بتعددية 3، أو نقطة تقاطع واحدة بتعددية 4). إذا وجدت نقطة تقاطع واحدة على الأقل ذات تعددية > 1 يقال أن القطعين المخروطيين متماسين. أما إذا كان هناك نقطة تقاطع واحدة ذات تعددية 4 يقال أن القطعين متلامسين osculating.

إضافة لما سبق فإن كل خط مستقيم يقاطع كل من القطعين المخروطيين مرتين. إذا كانت نقطة التقاطع مزدوجة عُدَّ الخط مماسًا ويسمى المماس. لأن كل مستقيم يقاطع القطع مرتين فإن كلا القطعين المخروطيين له نقطتين في مالانهاية (تقاطع النقاط مع خط المالانهاية) فإذا كانت النقطتان حقيقيتان فلابد أن يكون القطع زائدًا، وإذا كانتا تخيليتين فلابد أن يكون القطع ناقصًا، أما إذا كان للقطع نقطة واحدة مزدوجة في مالانهاية فهو مكافئ.

انظر إلى تطبيقات الدائرة والقطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد.

• قطع مكافئ
• قطع ناقص
• قطع زائد

• معجم الرياضيات - تأليف لجنة من الخبراء من وزارة التربية والتعليم - عمان - طبعة مكتبة لبنان - ساحة رياض الصلح/ بيروت - 1980م.

• بوابة رياضيات
• بوابة هندسة رياضية