متوازي أضلاع

لتكن متجهتين ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}}$ و ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}$ تدل على المصفوفة حيث عناصر a و b. إذن، مساحة متوازي الأضلاع المولد بالمتجهتين a و b تساوي ${\displaystyle |\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,}$.

لتكن متجهتين ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$ و لتكن ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}}$. إذن، مساحة متوازي الأضلاع المولد بالمتجهتين a و b تساوي ${\displaystyle {\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}}$.

لتكن النقط ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}}$. إذن، مساحة متوازي الأضلاع حيث الرؤوس في a و b و c مساوية للقيمة المطلقة لمحدد مصفوفة بُنيت باستعمال aو b و c صفوفا وحيث العمود الأخير أضيف باستعمال الواحدات كما يلي:

${\displaystyle K=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|.}$