نقاط مشتركة بدائرة

رؤوس أي مثلث تشترك بدائرة، الدائرة المشتركة تسمى الدائرة المحيطة بالمثلث، ويحسب نصف قطرها، بأطوال أضلاع المثلث a، b، c: ${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}.}$

يحاط المضلع ABCD بدائرة إذا وفقط إذا كانت ${\displaystyle \angle CAD=\angle CBD}$ ويحسب نصف قطر الدائرة المحيطة بدلالة أطوال الأضلاع a، b، c، d، ونصف المحيط S حيث ${\displaystyle S={\frac {a+b+c+d}{2}}}$ ، بالقانون: ${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(a.b+c.d)(a.c+b.d)(a.d+b.c)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}$ وقد استنتج هذا القانون لأول مرة من قبل العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا في القرن الخامس عشر. وبفرض ABCD شكل رباعي، وبحسب مبرهنة بطليموس فإنه دائري إذا وفقط إذا كان جداء القطرين يساوي مجموع جداءي كل ضلعين متقابلين أي أن: ${\displaystyle AC.BD=AB.CD+AD.BC}$. وإذا كانت النقطة X هي نقطة تلاقي القطرين ACو BD فإن ABCD شكل دائري إذا وفقط إذا كان: ${\displaystyle AX.XC=BX.XD}$. تعرف هذه النظرية باسم قوة نقطة.

بشكل عام، تكون المضلعات دائرية إذا كانت منصفاتها العمودية تلتقي في نقطة واحدة، وتلك النقطة هي مركز الدائرة.[1]