طائرة ورقية قائمة الزاوية

يعتبر المربع المتساوي الأضلاع والقطرين والمحاط بدائرة خارجية ومماس لدائرة داخلية والدائرتان متحدتا المركز طائرة ورقية قائمة الزواية.

يكون الشكل الرباعي طائرة ورقية متساوية الأضلاع إذا وفقط إذا أحيط بدائة خارجية تقطع الرؤوس الأربعة، يكافئ هذا الشرط إمتلاك الطائرة لزاويتين قائمتين متقابلتين.

لأن الطائرة الورقية قائمة الزواية يمكن أن تقسم إلى مثلثين قائمي الزوايا، يمكن بسهولة إيجاد صيغة رياضية لها بمعرفة خصائص المثلثات القائمة، في الطائرة التي تتكون من الزوايا (${\displaystyle ABCD}$) الزاويتان المتقابلتان (${\displaystyle B}$ و${\displaystyle D}$) قائمتان، والزاويتان الأخرتان يمكن حسابها بالشكل:

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {b}{a}},\qquad \tan {\frac {C}{2}}={\frac {a}{b}}}$

حيث أن (${\displaystyle a=AB=AD}$) و(${\displaystyle b=BC=CD}$)، وتكون مساحة شكل الطائرة:

${\displaystyle \displaystyle K=ab}$

المستقيم (${\displaystyle AC}$) الذي يمثل القطر الكبير للشكل وخط التماثل، طوله يساوي:

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

و لأن القطران عموديان على بعضها (الطائرة الورقية هي أيضًا رباعي متعامد القطرين ^{[الإنجليزية]} بمساحة تساوي ${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}}$)، القطر الآخر (${\displaystyle BD}$) يكون طوله:

${\displaystyle q={\frac {2ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

نصف قطر الدائرة الخارجية المحيطة حسب نظرية فيثاغورس يكون:

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{2}}}$

ولأن كل أشكال الطائرات القائمة هي رباعي أضلاع مماسي يكون محيط الدائرة الداخلية:

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {ab}{a+b}}}$

حيث أن (${\displaystyle s}$) يمثل (نصف المحيط)؛ تصبح مساحة الطائرة بدلالة أقطار الدائرتان الخارجية والداخلية:[3]

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}).}$

وإذا اخذنا المقاطع الممتدة من تقاطع الأقطار إلى رؤوس الشكل بالترتيب بإتجاه عقارب الساعة (${\displaystyle d_{1}}$ و${\displaystyle d_{2}}$ و${\displaystyle d_{3}}$ و${\displaystyle d_{4}}$) يكون:

${\displaystyle d_{1}d_{3}=d_{2}d_{4}}$

وهذه هي نتيجة مباشرة لمبرهنة المتوسط الهندسي ^{[الإنجليزية]}.

المضلعات المزدوجة ^{[الإنجليزية]} لطائرة قائمة الزواية تكافئ شبه منحرف مماسي متساوي الساقين.

يمكن أن يشير أحيانا مصطلح طائرة ورقية قائمة الزوايا إلى شكل الطائرة بزاوية قائمة واحدة،[4] في هذه الحالة يجب أن تكون الزاوية القائمة محصورة بين ضلعين متساوين بالطول، والصيغ الرياضية أعلاه لا تنطبق عليها.

• دوائر داخلية وخارجية لمثلث
• مضلع محدب
• هندسة إقليدية
• تربيع الدائرة

• بوابة رياضيات
• بوابة هندسة