تعامد (رياضيات)

في الرياضيات، التعامد (بالإنجليزية: orthogonality)‏ بالنسبة لمتجهين ${\displaystyle x}$ و${\displaystyle y}$ في فضاء الجداء الداخلي ${\displaystyle V}$ يتحقق إذا كان جداؤهما الداخلي ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ يساوي صفرًا. نمثل هذه الحالة بالتدوين : ${\displaystyle x\perp y}$.

وفي سياق فضاء المتجهات، فإنّ الفضائين الجزئيين ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$ في الفضاء ${\displaystyle V}$ يكوّنان فضائين جزيين متعامدين إذا كان كل متجه في ${\displaystyle A}$ يعامد كل متّّجه في ${\displaystyle B}$. وإذا كان ${\displaystyle B}$ هو أكبر فضاء جزئي في ${\displaystyle V}$ يعامد الفضاء الجزئي ${\displaystyle A}$ يطلق على ${\displaystyle B}$ اسم المتمّم المعمامد لـ${\displaystyle A}$.

كما ويدعى التحويل الخطّي ${\displaystyle T:V\to V}$ تحويلاً معامدًا إذا كان يحفظ عمليّة الجداء الداخلي، بما معناه أنّه لكل متجهين ${\displaystyle x}$ و${\displaystyle y}$ في الفضاء ${\displaystyle V}$، يتحقّق:

${\displaystyle \left\langle Tx,Ty\right\rangle =\left\langle x,y\right\rangle }$.

معنى هذا الشرط هو أنّ التحويل ${\displaystyle T}$ يحافظ على الزاوية بين المتجهين ${\displaystyle x}$ و${\displaystyle y}$، كما أنّ طول ${\displaystyle Tx}$ مساوٍ لطول ${\displaystyle x}$.

في الفضاء الإقليدي ثنائي البعد أو ثلاثي البعد، فأن يكون متجهين متعامدين مكافئ لكونهما يكوّنان زاوية قائمة (مقدارها ${\displaystyle 90^{\circ }}$ أو ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\ {\mbox{rad}}}$ بينهما، وعندها يكون جدائهما النقطي (الداخلي) صفر.

في سياق الفضاء الجزئي الإقليدي، فإنّ المتمّم المعامد لخط مستقيم هو المستوي المعامد له، والعكس صحيح. ولأنّ جميع المتجهات في الفضاء الجزئي تبدأ من نقطة المبدأ أو الأصل، فلكل مستقيم أو مستوي متمّم معامد واحد ووحيد.

في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، فإنّ المتمّم المعامد للخط المستقيم هو المستوي الفائق (بالإنجليزية: hyperplane)‏، والعكس صحيح. أمّا المتمّم المعامد لمستوي فهو أيضًا مستوي.

وتدعى مجموعة من المتجهات متعامدة بأزواج إذا كان كل زوج متجهات فيها متعامدًا، وتكوّن هذه مجموعة من المتجهات المستقلّة خطيًا، إذا لم تحتو على متّجه الصفر. كما وتدعى هذه المجموعة مجموعة متعامدة معيّرة إذا كانت كل المتّجهات فيها معيّرة أي كلّها من متجهات الوحدة.

غالبًا ما يعرّف الجداء الداخلي لدالّتين، f وg، بأنّه:

${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)dx}$

حيث يعرّف الجداء الداخلي بالنسبة لدالّة الترجيح w. من هنا، فتكون الدالتان f وg متعامدتين إذا ما كان جداؤهما الداخلي يساوي صفرًا:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)dx=0}$

كما ويكتب نظيم دالّة وفقًا للجداء الداخلي أعلاه ودالة الترجيح w على أنّه:

${\displaystyle \left\|f\right\|_{w}={\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{w}}}}$

وتكون متتالية الدوال ${\displaystyle \mathbb {F} =\left\{f_{i}:i=1,2,3,\ldots \right\}}$:

• متعامدة، إذا تحقّق لكل زوج ${\displaystyle i,j}$:

${\displaystyle \left\langle f_{i},f_{j}\right\rangle _{w}=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)dx=\|f_{i}\|^{2}\cdot \delta _{i,j}=\|f_{j}\|^{2}\cdot \delta _{i,j}}$

• متعامدة معيّرة إذا تحقّق لكل زوج ${\displaystyle i,j}$:

${\displaystyle \left\langle f_{i},f_{j}\right\rangle _{w}=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)dx=\delta _{i,j}}$

بحيث:

${\displaystyle \delta _{i,j}=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\neq j\end{matrix}}\right.}$ هي دلتا كرونيكر. أي بكلمات أخرى، على كل دالّتين أن تكونا متعامدتين وأيضًا، في حالة المجموعة المتعامدة المعيّرة، أن يكون نظيم كلّ منها يساوي 1. للمزيد، أنظر في كثيرات الحدودِ المتعامدةِ.

جزء من سلسلة مقالات حول
الهندسة الرياضية
الخطوط العريضة [الإنجليزية] التاريخ
الفروع إقليدية لاإقليدية إهليلجية كروية زائدية لا أرخميدية [الإنجليزية] إسقاطية نسبية تركيبية تحليلية جبرية حسابية ديوفانية [الإنجليزية] تفاضلية ريمانية هندسة تماسكية عقدية منتهية متقطعة رياضية رقمية محدبة رياضية حاسوبية وقعية [الإنجليزية]
المبادئ الخواص بعد الإنشاء بالمسطرة والفرجار زاوية منحنى ضلع قطري تعامد رياضي (تعامد هندسي) تواز رأس تطابق تشابه تناظر
صفري الأبعاد نقطة
وحيد البعد الطول مستقيم قطعة مستقيمة
المُسطَّحات مستو مساحة مضلع المثلثات مثلث الارتفاع الوتر مبرهنة فيثاغورس متوازيات الأضلاع متوازي أضلاع مربع مستطيل معين شبه معين رباعيات الأضلاع رباعي أضلاع شبه منحرف طائرة ورقية المنحنيات دائرة القطر المحيط المساحة قطع ناقص
المُجسَّمات حجم مكعب متوازي مستطيلات أسطوانة هرم كرة
ما فوق البعد الثالث مكعب رباعي الأبعاد كرة نونية الأبعاد
علماء الهندسة
وفق الاسم أيدا أريابهاتا أحمس [الإنجليزية] ابن الهيثم أبلونيوس أرخميدس عطية بولياي براهماغوبتا كارتن كوكستر ديكارت إقليدس أويلر غاوس غروموف هيلبرت جيهاديفا [الإنجليزية] كاتيايانا الخيَّام كلاين لوباتشيفسكي مانافا [الإنجليزية] مينكوفسكي مينغاتو [الإنجليزية] باسكال فيثاغورس باراميشفارا [الإنجليزية] بوانكاريه برنارد ريمان سكابي [الإنجليزية] السجزي الطوسي فيبلين [الإنجليزية] فيراسينا [الإنجليزية] يانغ هوي [الإنجليزية] ابن الياسمين زانج قائمة علماء الهندسة
وفق الحقبة قبل الميلاد أحمس [الإنجليزية] مانافا [الإنجليزية] فيثاغورس إقليدس أرخميدس أبلونيوس 1–1400م زانج كاتيايانا أريابهاتا براهماغوبتا فيراسينا [الإنجليزية] ابن الهيثم السجزي الخيَّام ابن الياسمين الطوسي يانغ هوي [الإنجليزية] باراميشفارا [الإنجليزية] 1400–1700م جيهاديفا [الإنجليزية] ديكارت باسكال مينغاتو [الإنجليزية] أويلر سكابي [الإنجليزية] أيدا 1700–1900م غاوس لوباتشيفسكي بولياي برنارد ريمان كلاين بوانكاريه هيلبرت مينكوفسكي كارتن فيبلين [الإنجليزية] كوكستر معاصرون عطية غروموف
بوابة هندسة رياضية

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر