متحكم تناسبي تكاملي تفاضلي

شكل يبين الخرج مقابل الزمن, لقيم مختلفة من K_p (أي أن K_i و K_d تبقى ثابتة) في الحلقة المفتوحة.

شكل يبين PV مقابل الزمن, لقيم مختلفة من K_p (أي أن K_i و K_d تبقى ثابتة) في الحلقة المغلقة.

يدعى أحيانا الحد التناسبي بالتضخيم ويتسبب في تغير قيمة الخرج بمقدار يتناسب طرديا مع قيمة الخطأ الحالية. يمكن ضبط الاستجابة التناسبية بضرب قيمة الخطأ بقيمة ثابتة (قابلة للضبط) K_p, وتدعى أيضا بالتضخيم التناسبي. يستخدم وصفا اخر في بعض أنظمة التحكم هو النطاق التناسبي Proportional Band, ويرمز له عادة PB% ويرتبط بالحد التناسبي بالعلاقة:

${\displaystyle K_{p}={\frac {100}{PB\%}}}$

يكون الخرج الناتج عن الحد التناسبي هو:

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }=K_{p}\,{e(t)}}$

حيث: ${\displaystyle P_{\mathrm {out} }\,}$: الحد التناسبي في للخرج: ${\displaystyle K_{p}\,}$: التضخيم التناسبي، قابل للتعديل: ${\displaystyle e\,}$: الخطأ ويساوي ${\displaystyle SP-PV\,}$

${\displaystyle t\,}$: الزمن

إذا كانت قيمة التضخيم التناسبي كبيرة فسينتج عنها تغيرا كبيرا في الخرج عند قيمة معينة للخطأ. أما إذا كانت هذه القيمة كبيرة جدا فسيصبح النظام غير مستقر (انظر قسم موالفة الحلقة في الأسفل).

الجدير بالذكر هو أن الحد التناسبى

لا يستطيع إلغاء الخطأ أو الإزاحة Offset بدون وجود الحد التكاملي. يمكن إثبات ذلك في حالة تغير الخطوة مثلا، باستخدام معادلات لابلاس يمكن إثبات أن الخطأ المتبقي عند زمن الاستقرارية (أي عندما ${\displaystyle t\to \infty \,}$) هو:${\displaystyle e_{ss}=\lim _{t\to \infty }e(t)={\frac {K_{p}}{K_{p}+1}}}$

حيث:

${\displaystyle e_{ss}\,}$ خطأ الحالة المستقرة steady state error (أي عندما ${\displaystyle t\to \infty \,}$).

يستعمل هذا النوع من عناصر التحكم في ضبط الحرارة وبعض التطبيقات الأخرى مثل ضبط مستوى السائل في الخزانات إذا لم تكن عملية إزالة الخطأ ذات أهمية.

مخطط لقيمة التغير في الخطأ والخرج مع الزمن في الحلقة المفتوحة وذلك لقيم مختلفة من K_i (أي أن K_p وK_d تبقى ثابتة)

مخطط لقيمة PV مع الزمن في الحلقة المغلقة, وذلك لقيم مختلفة من K_i (أي أن K_p وK_d تبقى ثابتة)

يطلق على الحد التكاملي أحيانا إعادة الضبط reset وذلك لقدرته على إزالة الخطأ المتبقي والذي لايستطيع الحد التناسبي إلغاؤه. يمكن فهم السبب بالنظر في الحلقة المفتوحة حيث نرى أن الحد التكاملي يستمر في التغير صعودا أو هبوطا بشكل يتناسب مع مقدار الخطأ مع ولايتوقف مع مرور الوقت إلا إذا كان الخطأ صفرا. عمليا يتوقف الحد التكاملي عندما يصل إلى مرحلة الإشباع وهي القدرة العظمى للخرج العملياتي. يمتلك الحد التكاملي ثابتا قابلا للضبط في عمليات الموالفة ويدعى ${\displaystyle K_{i}\,}$. غالبا يستبدل هذا الثابت بمقلوبه والذي يحمل مغزى للتكامل ويطلق عليه ${\displaystyle T_{i}\,}$ حيث:

${\displaystyle K_{i}={\frac {1}{T_{i}}}\,}$

يعرف Ti على أنه الزمن اللازم للوصول بالخرج لنفس قيمة الخطأ أو الدخل منذ بدء الخطأ بمقدار خطوة Step.

يعطى الحد التكاملي بالعلاقة:

${\displaystyle I_{\mathrm {out} }=K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }}$

حيث: ${\displaystyle I_{\mathrm {out} }\,}$: الحد التكاملي للخرج: ${\displaystyle K_{i}\,}$: تضخيم التكامل، قابل للموالفة: ${\displaystyle e\,}$: الخطأ ويساوي ${\displaystyle SP-PV\,}$

${\displaystyle t\,}$: الزمن اللحظي.

${\displaystyle \tau \,}$: متغير اعتباطي.

يستعمل الحد التكاملي مع الحد التناسبي بشكل واسع في التطبيقات الصناعية لتعجيل عملية الاستجابة وإزالة الخطأ عند الاستقرارية. ومع ذلك قد يتسبب الحد التكاملي في ظهور نطة overshoot فوق القيمة المراد الوصول لها بسبب تجميعه لبيانات الخطأ المتراكمة. يمكن التوفيق بين سرعة الاستجابة والنطة بواسطة موالفة ثوابت الحدود كما في قسم الموالفة في الأسفل.

رسم يوضح قيمة PV بالنسبة للزمن, مع ثلاث قيم مختلفة لـ K_d (هنا K_p وK_i تبقى ثابتة)

يطلق على الحد التفاضلي أحيانا بالمعدل rate وذلك لأنه يظهر فقط عندما يكون هناك تغير في قيمة الخطأ بالنسبة للزمن ويتناسب طرديا مع معدل هذا التغير. يمتلك الحد التفاضلي ثابتا قابلا للتغيير في عملية الموالفة ويرمز له رياضيا ${\displaystyle K_{d}\,}$ وفي الأنظمة الصناعية عادة ${\displaystyle T_{d}\,}$ لأنها ترمز لميل دالة الخطأ.

يمكن التعبير عن الحد التفاضلي رياضيا بالصورة:

${\displaystyle D_{\mathrm {out} }=K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)}$

حيث: ${\displaystyle D_{\mathrm {out} }\,}$: الحد التفاضلي للخرج: ${\displaystyle K_{d}\,}$: التضخيم التفاضلي، قابل للموالفة: ${\displaystyle e\,}$: الخطأ ويساوي ${\displaystyle SP-PV\,}$

${\displaystyle t\,}$: الزمن

مع أن الحد التفاضلي يحسن أحيانا في عملية التحكم إلا أنه يتأثر بالضوضاء بشكل كبير ويمكن أن يتسبب في عدم استقرارية النظام. لهذا السبب لايستخدم الحد التفاضلي في الصناعة إلا بشكل نادر وبحذر شديد.

تعمل الحدود التناسبي، التكاملي والتفاضلي معا لتجمع وتعطي خرجا واحدا لعنصر التحكم PID. إذا رمزنا ${\displaystyle u(t)\,}$ لدالة الخرج فستكون قيمتها معطاة بالعلاقة:

${\displaystyle \mathrm {u(t)} =\mathrm {MV(t)} =K_{p}{e(t)}+K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }+K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)}$

بحيث تكون عناصر الموالفة هي:

التضخيم التناسبي، ${\displaystyle K_{p}}$

ويمكن زيادتها لتسريع الاستجابة ولكن إلى الحد الذي يبقي على استقرارية النظام.

التضخيم التكاملي، ${\displaystyle K_{i}}$

لتسريع عملية إزالة الخطأ.

التضخيم التفاضلي، ${\displaystyle K_{d}}$

لتقليل عملية الطلقة أو النطة مع مراعاة تأثير الضوضاء.

عندما يكون من الضروري بقاء النظام عاملا، يمكن أولا موالفة ${\displaystyle K_{i}}$ و${\displaystyle K_{d}}$ إلى قيم صفرية. يتم زيادة ${\displaystyle K_{p}}$ تدريجيا حتى يبدأ خرج الحلقة بالتذبذب، حينئذ ينبغي إنقاص قيمة ${\displaystyle K_{p}}$ إلى النصف تقريبا من أجل استجابة من نوع «اضمحلال ربع الاتساع». ثم تزاد قيمة ${\displaystyle K_{i}}$ حتى يتم تصحيح أي انزياح خلال زمن كاف للعملية. ومع ذلك، فإن زيادة كبيرة جدا في ${\displaystyle K_{i}}$ ستسبب عدم استقرارية. وأخيرا، يتم زيادة${\displaystyle K_{d}}$, إذا كان مطلوبا، حتى تصبح الحلقة سريعة بشكل ماقبل وبعد حدوث اضطراب في حمل. ولكن مرة أخرى، فإن زيادة ${\displaystyle K_{d}}$ كثيرا قد يتسبب في استجابة زائدة عن الحاجة وظهور النطة. في العادة تتسبب عملية الموالفة السريعة في PID بظهور نطة طفيفية من أجل الوصول لقيمة الضبط setpoint بشكل أسرع; بالرغم من هذا، فبعض الأنظمة لا تتقبل هذه النطة، وفي هذه الحال يكون النظام المغلق ذو «إخماد قوي over-damped» ضروريا، والذي يتطلب ضبط ${\displaystyle K_{p}}$ أقل من نصف القيمة ${\displaystyle K_{p}}$ التي تسببت في التذبذب.

تأثيرات زيادة المعاملات
المعامل	زمن الصعود	النطة	زمن الاستقرار	الخطأ عند الاتزان
${\displaystyle K_{p}}$	نقص	زيادة	تغير طفيف	نقص
${\displaystyle K_{i}}$	نقص	زيادة	زيادة	عزل
${\displaystyle K_{d}}$	لانهائي (نقص أو زيادة طفيفة)[1]	نقص	نقص	لاشيئ

سميت هذه الطريقة نسبة لمقدميها جون زيغلر وناتانيل نيكولس. كما الطريقة السابقة، توضع قيم ${\displaystyle K_{i}}$ و${\displaystyle K_{d}}$ على الصفر. تزاد قيمة التضخم P حتى تصل إلى التضخيم الحرج، ${\displaystyle K_{c}}$, حيث يبدأ الخرج بالتذبذب. ${\displaystyle K_{c}}$ وفترة التذبذب ${\displaystyle P_{c}}$ تستعمل لضبط القيم كما يلي:

طريقة زيغلر نيكولس
نوع التحكم	${\displaystyle K_{p}}$	${\displaystyle K_{i}}$	${\displaystyle K_{d}}$
P	${\displaystyle 0.50{K_{c}}}$	-	-
PI	${\displaystyle 0.45{K_{c}}}$	${\displaystyle 1.2{K_{p}}/P_{c}}$	-
PID	${\displaystyle 0.60{K_{c}}}$	${\displaystyle 2{K_{p}}/P_{c}}$	${\displaystyle {K_{p}}{P_{c}}/8}$

لم تعد الطرق التقليدية السابقة مستخدمة كثيرا في أنظمة التحكم الصناعية الحديثة. بدلا من ذلك تقوم برامج حديثة بعمل الموالفة والأمثلية. تقوم هذه البرامج بجمع البيانات، تطوير نماذج عمليات، ومن ثم تقترح الموالفة المثلى كما أن بعض هذه البرامج تستطيع تطوير عملية الموالفة بالاعتماد على تغييرات مرجعية (كما في أنظمة APC التحكم المتقدم بالعمليات).

تكمن فكرة موالفة الحلقة الرياضية في استحثاث قدحة Impulse في النظام، ثم تسخير الاستجابة الترددية للنظام المحكوم لتصميم قيم حلقة PID المطلوبة. تفضل هذه العملية في حالة الحلقات التي تتراوح استجابتها الزمنية بضع دقائق. من الصعوبة بمكان إيجاد القيم المثلى. تقدم بعض حلقات التحكم الرقمية ميزة «الموالفة الذاتية» حيث يتم إرسال تغيرات طفيفة جدا في القيمة المضبوطة SP إلى العمليات، سامحة لأجهزة التحكم بحساب قيم موالفة مثلى.