تطبيق على نظرية المجموعات

هناك علاقة بين نظرية المجموعات والمنطق.

الاستلزام والتضمن

نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.

و نكتب:

${\displaystyle A\subset E}$

نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E. ==مجموعة الأجزاء== ويكتب المنطق ب7888

التساوي والتكافؤ

المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.

الاتحاد والفصل

اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين، والتي نرمز لها ب: ${\displaystyle A\cup B}$.

x من C يكافئ: x من A أو x من B. =خاصيات عطف التقاطع والاتحاد في مجموعة الأجزاء=

الفرق المتماثل

تطبيق في البرهنة الرياضية

برهنة: ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

لكي نبرهن تساوي بين مجموعتين A و B يجب أن نبرهن لكل عنصر x:

x ينتمي لـ A إذا وفقط إذا x ينتمي لـ B في هذه الحالة علينا أن نبرهن:

${\displaystyle x\in (A\cap (B\cup C))\Leftrightarrow x\in ((A\cap B)\cup (A\cap C))}$

برهان:

${\displaystyle x\in (A\cap (B\cup C)){\overset {1}{\Leftrightarrow }}}$

${\displaystyle (x\in A)\land (x\in (B\cup C)){\overset {2}{\Leftrightarrow }}}$

${\displaystyle (x\in A)\land ((x\in B)\lor (x\in C)){\overset {3}{\Leftrightarrow }}}$

${\displaystyle ((x\in A)\land (x\in B))\lor ((x\in A)\land (x\in C)){\overset {4}{\Leftrightarrow }}}$

${\displaystyle (x\in (A\cap B))\lor (x\in (A\cap C)){\overset {5}{\Leftrightarrow }}}$

${\displaystyle x\in ((A\cap B)\cup (A\cap C))}$

شرح الخطوات:

1 و4- حسب تعريف التقاطع ${\displaystyle x\in (A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\in B)}$

2 و5- حسب تعريف الاتحاد ${\displaystyle x\in (A\cup B)\Leftrightarrow (x\in A)\lor (x\in B)}$

3-

نبرهن: ${\displaystyle (x\in A)\land ((x\in B)\lor (x\in C))=((x\in A)\land (x\in B))\lor ((x\in A)\land (x\in C))}$

بواسطة جداول الحقيقة التابعة لـ ${\displaystyle \land }$ و${\displaystyle \lor }$

جدول الحقيقة لـ ${\displaystyle (x\in A)\land ((x\in B)\lor (x\in C))}$

${\displaystyle (x\in A)}$	${\displaystyle (x\in B)}$	${\displaystyle (x\in C)}$	${\displaystyle (x\in B)\lor (x\in C)}$	${\displaystyle (x\in A)\land ((x\in B)\lor (x\in C))}$
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	1	0	1	0
1	1	0	1	1
0	0	1	1	0
1	0	1	1	1
0	1	1	1	0
1	1	1	1	1

جدول الحقيقة لـ ${\displaystyle ((x\in A)\land (x\in B))\lor ((x\in A)\land (x\in C))}$

${\displaystyle (x\in A)}$	${\displaystyle (x\in B)}$	${\displaystyle (x\in C)}$	${\displaystyle (x\in A)\land (x\in B)}$	${\displaystyle (x\in A)\land (x\in C)}$	${\displaystyle ((x\in A)\land (x\in B))\lor ((x\in A)\land (x\in C))}$
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0
1	1	0	1	0	1
0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	1	1
0	1	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1

الجدولان متساويان لذلك العبارتان متكافئتان

المنطق الرياضي والدوائر الكهربية

بمكن تحويل كل جمل المنطق الرياضي إلى دوائر كهربية تستخدم في الحاسب الآلي لإجراء العمليات الحسابية والمنطقية ويمكن الاطلاع على تفاصيل ذلك هنا لمزيد من المعلومات

المنطق الرياضي والبرمجة

يفيد فهم المنطق الرياضي في إجراء عمليات البرمجة المعقدة والتي تحوي الجمل الشرطية المتداخلة اللازمة لتحقيق هدف معين أو حل مشكلة محددة بواسطة البرنامج.

انظر أيضا

بوابة منطقية

• بوابة فلسفة
• بوابة رياضيات
• بوابة منطق