مبرهنة ستون-فايرشتراس

رسم توضيحي لمتتالية دوال حدانية تؤول إلى دالة القيمة المطلقة

مبرهنة فايرستراس للمقاربة: كل دالة متصلة ${\displaystyle f}$ معرفة في مجال ${\displaystyle [a,b]}$ هي نهاية منتظمة لدالة حدية معرفة في ${\displaystyle [a,b]}$.

أي بالنسبة لكل ${\displaystyle \epsilon >0}$ توجد دالة حدية ${\displaystyle P}$ تحقق: ${\displaystyle \forall x\in [a,b],\mid f(x)-P(x)\mid <\epsilon }$

هذه النتيجة التي برهن عليها فايرستراس، تمت البرهنة على قابليتها للتعميم على كل الدوال المتصلة الحقيقية المعرفة في فضاء متراص، بفضل أعمال الرياضياتي الأمريكي مارشال ستون.

باعتبار ${\displaystyle (X,d)}$ فضاء قياسيا متراصا و ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$ فضاء الدوال المتصلة المنطلقة من ${\displaystyle X}$ والمستقرة في ${\displaystyle \mathbb {R} }$ والمزود بمعيار التقارب المنتظم. إذا كانت مجموعة ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$ تشكل جبرا جزئيا وحدويا يفصل بين نقط ${\displaystyle X}$، فإن ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ كثيفة ضمن ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$.[6]

المبرهنة صحيحة أيضا بانسبة لكل فضاء طوبولوجي متراص ومفصل ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$.[6]

مبرهنة فايرستراس للمقاربة تصبح على ضوء هذه المبرهنة لازمة لمبرهنة ستون فايرستراس.

• برهنة كاملة لمبرهنة ستون فايرستراس في حالتها العامة.

• بوابة تحليل رياضي