دالة مستمرة

بدون اللجوء إلى الحديث عن النقاط الحدوديّة، بالإمكان تعريف الدالة المستمرة بالشكل الآتي:

لننظر مجددًا إلى دالّة ${\displaystyle f}$ بمتغيّر واحد حقيقي قيمها حقيقيّة، ولنفرض أنّ العدد ${\displaystyle c}$ هو أحد عناصر نطاق الدالّة ${\displaystyle f}$. تكون الدالّة ${\displaystyle f}$ هي دالة مستمرة في النقطة ${\displaystyle c}$ إذا تحقّق أنّ: لكل ${\displaystyle \varepsilon >0}$، مهما كان صغيرًا، يوجد عدد ${\displaystyle \delta >0}$، بحيث أنّ لكل ${\displaystyle x}$ في نطاق الدالّة ${\displaystyle f}$ الذي يحقّق ${\displaystyle c-\delta <x<c+\delta }$، يتحقّق التالي بالنسبة لـ${\displaystyle f\left(x\right)}$:

${\displaystyle f\left(c\right)-\varepsilon <f\left(x\right)<f\left(c\right)+\varepsilon }$

وبتدوين بديل: إذا كانت المجموعات ${\displaystyle I,D}$، هي مجموعات جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقيّة، ${\displaystyle \mathbb {R} }$، فإنّ استمراريّة الدالّة ${\displaystyle f:I\to D}$ في النقطة ${\displaystyle c\in I}$ تعني أنّه لكل ${\displaystyle \varepsilon >0}$، هنالك ${\displaystyle \delta >0}$ يحقّق لكل ${\displaystyle x\in I}$:

${\displaystyle \left|x-c\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(c)\right|<\varepsilon }$

إنّ أوّل من برهن استمراريّة دالّة بهذه الطريقة كان الرياضي أوغستين كوشي. ولتفسير هذا التعريف بصورة بديهيّة: إذا اخترنا أي جوار ${\displaystyle \varepsilon }$، مهما كان صغيرًا، لـ${\displaystyle f\left(c\right)}$، فبالإمكان إيجاد جوار ${\displaystyle \delta }$ لـ${\displaystyle c}$ بحيث تكون قيم الدالّة في الجوار الأخير موجودة كلّها في الجوار الأوّل.

أوّل من وضع هذا التعريف كان الرياضي الألماني إدوارد هاينه.

ويقضي التعريف بأنّ الدالّة الحقيقيّة ${\displaystyle f}$ تدعى مستمرّة إذا كانت كلّ متتالية ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ تحقّق:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=L,}$،

أي أنّه إذا كانت نهايتها هي العدد ${\displaystyle L}$، يتحقّق كذلك:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(L\right)}$،

أي أنّ نهاية الدالة عند اقترابها من نهاية المتتالية ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ تساوي قيمة الدالة في نهاية المتتالية ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$، أي ${\displaystyle f\left(L\right)}$. هذا وقد افترضنا في التعريف أعلاه أنّ كل حدود المتتالية، ونهايتها كذلك، كلّها موجودة في نطاق الدالة ${\displaystyle f}$.

• كل الدوال متعددة الحدود هي دوال مستمرّة؛
• جميع الدوال النسبية والدوال الأسّيّة والدوال اللوغاريتميّة ودوال الجذر التربيعي والدوال المثلثية ودوال القيمة المطلقة جميعها دوال مستمرّة؛
• هنالك بعض الدوال التي هي غير مستمرّة في أيّة نقطة في نطاقها.أشهرها تسمّى دالة ديريخليه، على اسم العالم الألماني يوهان ديريخليه، وتعريفها كالتالي:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\mbox{ if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\1{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Q} \end{cases}}}$

أي أنّ الدالة تحصل على القيمة 1 لكل ${\displaystyle x}$ ينتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية (أي التي بالإمكان كتابتها على شكل كسر عادي أو عدد كسري)، وعلى القيمة${\displaystyle 0}$ لكل ${\displaystyle x}$ لا ينتمي إلى تلك المجموعة، أي لكل عدد غير نسبي. بالإمكان برهان أنّه على محور الأعداد الحقيقية، يوجد بين كل عددين نسبيين عدد غير نسبي، وبين كل عددين غير نسبيين عدد نسبي. بالاعتماد على هذا، فإنّ دالة ديريخليه هي دالّة غير مستمرّة في أيّة نقطة؛

• بالمقابل، بعض الدوال، كالدالّة الآتية:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\mbox{ if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\x{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Q} \end{cases}}}$

هي دوال مستمرّة في نقطة واحدة فقط. في هذه الحالة فإنّ الدالة مستمرّة في النقطة ${\displaystyle x=0}$؛

• الدالّة الآتية:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\mbox{ if }}x\leq 0\\1{\mbox{ if }}x>0\end{cases}}}$

هي دالّة مستمرّة في كل نقاط نطاقها، ما عدا النقطة ${\displaystyle x=0}$، لذا فإنّها دالّة غير مستمرّة. فبالإمكان برهنة عدم استمراريتها وفقًا لتعريف كوشي أعلاه: إذا اخترنا ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}}$، فلا يمكن أن نجد أيّ جوار ${\displaystyle \delta }$ حول النقطة ${\displaystyle x=0}$ تكون فيها قيم الدالة بين ${\displaystyle 0-\varepsilon =-{\tfrac {1}{2}}}$ وبين ${\displaystyle 0+\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}}$، إذ أنّ ${\displaystyle f(x)=1>{\tfrac {1}{2}}}$ لكل ${\displaystyle x>0}$.

• في بند الأمثلة السابق، ذكرت الدالّة الآتية:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\mbox{ if }}x\leq 0\\1{\mbox{ if }}x>0\end{cases}}}$

على أنّها دالّة غير مستمرّة بسبب عدم استمراريّتها في النقطة ${\displaystyle x=0}$. مع هذا، فإنّ هذه الدالّة هي دالّة مستمرّة من اليسار لكل ${\displaystyle x}$: لكل نقطة في النطاق، بامكان اختيار جوارًا من جهة اليسار لا نلاحظ فيه أي عدم استمراريّة عند التقدم نحو النقطة فيه. أمّا بالنسبة لاستمراريّة من اليمين فهي لا تتحقّق، لنفس السبب الذي يجعل الدالّة غير مستمرّة.

• إنّ دالة التوزيع التراكمي في نظرية الاحتمالات هي دالّة مستمرّة من اليمين دائمًا.