دالة أسية

${\displaystyle f(x)=a^{x}+b^{2}x}$ أو: ${\displaystyle f(x)=a^{x}+5.M^{x}-3}$ أو: ${\displaystyle f(x)=a^{x}+e^{x}}$

مثال آخر للدالة الأسية:

y = ل مرفوعة للقوة x ، وتكتب رياضيا كالآتي:

y = ل^x

حيث ل> صفر.

أي أن الدالة الأسية بصفة عامة:

X = yⁿ

تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا ${\displaystyle e^{n}}$ حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى عدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصة ${\displaystyle e^{n}}$ لها استخدامات واسعة في الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستخدم «هـ» بدلا عن e.

مشتق الدالة الأسية ${\displaystyle e^{n}}$ مساو لقيمة الدالة. لكل نقطة من المنحنى (الأزرق)، إذا رسم الخط المماس (الأحمر) والخط العمودي (الأخضر) كما هو مبين، فستكون للمثلث الذي يحددانه مع المحور الأفقي قاعدة طولها 1 (الأخضر). فيكون انحدار الخط المماس (المشتق) في النقطة مساويا لارتفاع المثلث (قيمة الدالة).

التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.

من خواص الدالة الأسية:

a⁰ = 1

a¹ = a

الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذو الأساس a حيث تحول ${\displaystyle a^{x}}$ إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع:

${\displaystyle \log(a^{x})=x\log(a)}$

حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10.

يمكن تحويل الدالة الأسية ${\displaystyle a^{x}}$ إلى أي أساس آخر ${\displaystyle b}$ :

${\displaystyle a^{x}=b^{x\cdot \log _{b}(a)}}$

وتنطبق القوانين التالية عليها:

${\displaystyle a^{0}=1\,}$...و... ${\displaystyle a^{1}=a\,}$

${\displaystyle a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}}$

${\displaystyle a^{x\cdot y}=(a^{x})^{y}}$

${\displaystyle a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}}$

${\displaystyle a^{x}\cdot \ b^{x}=(a\cdot \ b)^{x}}$

وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة ${\displaystyle a\,}$ و${\displaystyle b\,}$ وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة ${\displaystyle x}$.

من أهم الدوال الأسية المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي ${\displaystyle e^{x}}$ واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز ln ، ويسمى «اللوغاريتم الطبيعي».

الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين:

${\displaystyle f'=f}$

${\displaystyle f(0)=1}$

أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

دالة الأس الطبيعي
تمثيل دالة الأس الطبيعي تمثيل دالة الأس الطبيعي
تدوين	${\displaystyle e^{x}}$ أو ${\displaystyle \exp(x)}$
دالة عكسية	${\displaystyle \ln(x)}$
مشتق الدالة	${\displaystyle e^{x}}$
مشتق عكسي (تكامل)	${\displaystyle e^{x}+C}$
الميزات الأساسية
مجال الدالة	${\displaystyle \mathbb {R} }$
المجال المقابل	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	1
نهاية الدالة عند +∞	${\displaystyle +\infty }$
نهاية الدالة عند -∞	${\displaystyle 0}$
القيمة/النهاية عند 1	e
خطوط مقاربة	${\displaystyle y=0}$

هناك الحالة الخاصة عندما يكون الأساس هو الثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي «هـ» بدلا عن المعترف به عالميا e).

وتكتب باللغة الإنجليزية:

(x = exp(n

حيث n هو الأُس للأساس الثابت الطبيعي الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828

وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.

أو بالتفصيل:

x = eⁿ

من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$

${\displaystyle a^{x}:=\exp(x\cdot \ln a)}$

${\displaystyle a^{x}:=e^{x\cdot \ln a}}$

وذلك لجميع ${\displaystyle a>0}$ وجميع ${\displaystyle x}$ الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)

تزايد جهد المكثف مع الزمن يتبع دالة أسية للأساس e.

للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل: تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل: اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)

وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x = eⁿ حيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e^-t.c.

• ويكون الأس n دائما عددا لا بعديا ، لكنه يتكون عادة من جزئين، ففي حالة المكثف الكهربائي على سبيل المثال يكون n = t.c حيث t الزمن ثانية و c خاصية للمكثف وحدتها [1/ثانية] ، وينتج عن حاصل ضربهما عددا لا بعديا.
• يعطينا الشكل المجاور الشكل المميز للدالة الأسية للأساس e. وطبقا لها تتغير الشحنة الكهربائية الواردة على المكثف مع الزمن حتى يمتلئ تماما.

يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:

${\displaystyle \displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+{\dfrac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

أقل شيوعا يمكن تعريف e^x كحل للمعادلة التالية:

${\displaystyle \displaystyle x=\int _{1}^{y}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}.}$

هي أيضا تساوي النهاية التالية:

${\displaystyle \displaystyle e^{x}=\lim \limits _{n\to \infty }\left(1+{\dfrac {x}{n}}\right)^{n}.}$

تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية:

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}\exp(x)=\exp(x)}$

وعندما نختار لها الشرط:

${\displaystyle \exp(0)=1\;}$

تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون ${\displaystyle a>0}$ ينتج:

${\displaystyle a^{x}=\exp(x\cdot \ln a)}$

حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة:

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}a^{b\cdot x}=b\ln a\cdot a^{b\cdot x}}$

وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد e في حساب التفاضل بطريقة «طبيعية» من نفسه.

المعادلة التفاضلية من النوع ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=ay+b}$ حيث a و b عددان حقيقيان

دالة أسية للأساس e: ثلاثة منحنيات للتحلل الإشعاعي لثلاثة مواد لها عمر النصف مختلف.

إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث ${\displaystyle y(x)=\lambda e^{ax}-{\frac {b}{a}}}$ حيث ${\displaystyle \lambda }$ ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية

مثال:

قانون التحلل الإشعاعي لنواة الذرة:

${\displaystyle N(t)=N_{0}\,e^{-{\lambda }t}\,\!}$

وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).

وتعتمد:${\displaystyle {\lambda }\!}$ على نوع الذرات الموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائص العنصر المشع، وتختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.

ليكن ${\displaystyle a}$ عنصرا من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث ${\displaystyle a>1}$

المجموع الأول

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{a^{i}}=a^{0}+a^{1}+a^{2}+\dots +a^{n-1}={\frac {a^{n}-1}{a-1}}}$

نهاية هذا المجموع:${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sum _{i=1}^{n}}{a^{i}}=+\infty }$

المجموع الثاني

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{a^{i}}}={\frac {1-a^{n+1}}{a^{n}-a^{n+1}}}={\frac {a^{-n}-a}{1-a}}}$

نهاية هذا المجموع:${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sum _{i=0}^{n}}{\frac {1}{a^{i}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{a^{-i}}={\frac {a}{a-1}}}$

• الدوال الإبتدائية
• تغير الضغط بالارتفاع
• توزيع بولتزمان
• احصاء ماكسويل-بولتزمان
• تجانس
• اختبار الوحدات

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي