تباعد

يعرف تباعد الحقل المتجهي ${\displaystyle {\vec {F}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ الذي تمتد مركباته في ن من الأبعاد على أنه قسمة المركبة ${\displaystyle F_{i}}$ بالكمية ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}$. على سبيل المثال إذا كانت ن=3 أي ${\displaystyle {\vec {F}}(x_{1},x_{2},x_{3})}$ في ثلاثة أبعاد فإن التباعد يعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {div} \colon {\vec {F}}=\left(F_{1},F_{2},F_{3}\right)\mapsto {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}F_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}F_{2}+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}F_{3}}$

والآن للتعميم على الحقل ${\displaystyle {\vec {F}}=(F_{1},\ldots ,F_{n})}$ في ن من الأبعاد. فإن التباعد يكون:

${\displaystyle \operatorname {div} \colon {\vec {F}}=\left(F_{1},\ldots ,F_{n}\right)\mapsto \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}F_{i}}$

يحسب التباعد لحقل متجهي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد ${\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)}$ وفقا لما يلي:

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}$

وفي الإحداثيات الإسطوانية ${\displaystyle {\vec {F}}(\rho ,\varphi ,z)}$:

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho F_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}$

أما في الإحداثيات الكروية ${\displaystyle {\vec {F}}(r,\theta ,\varphi )}$
${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}F_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(F_{\theta }\sin \theta )+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}}$

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل المؤثر نابلا (${\displaystyle \nabla }$). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية	الترميز	الوصف	المجال
تدرج Gradient	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي.	تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
دوران Curl	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعد Divergence	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسي Laplacian	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	مركب من عمليتي التباعد والتدرج.	يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.

• بوابة الفيزياء
• بوابة تحليل رياضي