مبرهنة القيمة المتوسطة

لتكن f : [a, b] -> R دالة ذات قيم حقيقية حيث a <b. إذا كان :

• f متصلة على النطاق المغلق [a, b]
• f قابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[
• يوجد عدد حقيقي موجب k، حيث لكل عنصر x من ]a, b[، |f'(x)| <k،

فإن ${\displaystyle \left|{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}\right|\leq k}$.

الاستدلال :

نطبق مبرهنة القيمة الوسطى ونضع |f'(x)| <k.

و لتقريب الصورة نستطيع أن نصور المبرهنة كما يلي : "إذا كانت السرعة الآنية لسيارة ما غير قادرة على تجاوز سرعة 120 كم/س، فإن معدل سرعتها لا يمكنه ذلك."

تطبّق هذه المبرهنة في حالة دالتين متواصلتين على [a ; b]، قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[. وهو يؤكد وجود عدد حقيقي c من النطاق ]a ; b[ بحيث

${\displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(c)=0\,}$

هندسيا، تعني هذه المعادلة أن كل منحنى لدالة من ${\displaystyle \mathbb {R} }$ في ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ قابلة للاشتقاق، يملك مماسا موازيا لإحدى حباله. في حالة مخالفة g' للصفر على ]a ; b[، يمكن أن تكتب المعادلة

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$

و تحت هذه الصيغة، تستعمل المبرهنة للاستدلال على قاعدة اوبيتال.

الاستدلال :

نطبق مبرهنة رول على الدالة

${\displaystyle h(t)=(f(b)-f(a))(g(t)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(t)-f(a))\,}$

إن الدالة h متواصلة على [a ; b]، وقابلة للاشتقاق على ]a ; b[، وتساوي صفرا في a وb وبالتالي ${\displaystyle h(a)=h(b)}$. إذن يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث h'(c) = 0. وهو ما يؤدي إلى

${\displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(c)=0\,}$

ولو كانت g' كذلك مخالفة للصفر على ]a ; b[ فإننا نستطيع أن نؤكد أن ${\displaystyle g(b)\neq g(a)}$ ويكفي أن نقسم بهما فنجد

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$

يمكن إعادة صياغة مبرهنة القيمة الوسطى في شكل تكامل. لكل دالتين ذوات متغيّر حقيقي، u وv متصلتين على النطاق [a ; b]، حيث v مخالفة

للصفر على [a ; b]، يوجد عدد حقيقي c من ]a، b[ حيث

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)v(t)dt=u(c)\int _{a}^{b}v(t)dt}$.

و هذه الكتابة منطقية نظرا لأن الدوال المتصلة متكاملة محليا حسب ريمان.

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي

1. "معلومات عن مبرهنة القيمة الوسطى على موقع britannica.com"، britannica.com، مؤرشف من الأصل في 17 يونيو 2016.
2. "معلومات عن مبرهنة القيمة الوسطى على موقع id.loc.gov"، id.loc.gov، مؤرشف من الأصل في 3 أبريل 2019.
3. "معلومات عن مبرهنة القيمة الوسطى على موقع jstor.org"، jstor.org، مؤرشف من الأصل في 25 مايو 2020.