مشتق اتجاهي

لتكن ${\displaystyle f}$ دالة تفاضلية متعددة المتغيرات، يمكن الإشارة إلى المشتق الاتجاهي للدالة ${\displaystyle f}$ على طول متجه ${\displaystyle {\vec {v}}}$ بأي مما يلي:

•  :${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )}$،
• ${\displaystyle f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )}$،
• ${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )}$،
• ${\displaystyle Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )}$،
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )}$،
• ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}}$،
• ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.}$

خط منسوب للدالة ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$، يظهر متجه التدرج باللون الأسود، ومتجه الوحدة ${\displaystyle \mathbf {u} }$ تحجيم بواسطة مشتق الاتجاه على طول ${\displaystyle \mathbf {u} }$ باللون البرتقالي. يكون متجه التدرج أطول لأن التدرج يشير إلى اتجاه أكبر معدل لزيادة دالة.

المشتق الإتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات :

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

على طول متجه :

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$

هو الدالة ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}$ المُعرفة بالنهاية التالية:[1]

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$

إذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق في ${\displaystyle \mathbf {x} }$، فإن المشتق الإتجاهي موجود، ويُعبر عنه ب:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$

بحيث ${\displaystyle \nabla }$ ترمز إلى التدرج و ${\displaystyle \cdot }$ هو الجداء النقطي[2]، وهذه القاعدة هي مجرد تطبيق لتعريف المشتق الإتجاهي :

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tD_{f}(x)(v)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-D_{f}(x)(v)=\nabla _{v}f(x)-D_{f}(x)(v)\\\implies &\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} =D_{f}(x)(v)=\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )\end{aligned}}}$

الكثير من الخصائص المألوفة للمشتق الإعتيادي تصلح للمشتق الاتجاهي. إذا كانت دوال ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ معرفة على مجالٍ، والقابلة للإشتقاق في ${\displaystyle p}$، فهي تستوفي الخصائص الآتية:[3]

1. قاعدة الجمع :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}$

2 . قاعدة العامل الثابت :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}$

3 . قاعدة الضرب (أو قاعدة لايبنيس) :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.}$

4 . قاعدة السلسلة ( إذا كانت ${\displaystyle h}$ قابلة للإشتقاق في ${\displaystyle g(p)}$ و ${\displaystyle g}$ في ${\displaystyle p}$) :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}$

المشتق العمودي هو مشتق اتجاهي على طول متجه عمودي على سطح ما[4]، إذا كان هذا المتجه هو ${\displaystyle {\vec {n}}}$، فيرمز للمشتق العمودي بالآتي :

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}$

• مشتق جزئي
• تدرج
• هندسة تفاضلية

• بوابة تحليل رياضي