قائمة تكاملات الدوال غير الكسرية

فيما يلي قائمة لتكاملات التوابع غير المنطقة.

توابع تحتوي $r={\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$

\int r\;dx={\frac {1}{2}}\left(xr+a^{2}\,\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)\right)

\int r^{3}\;dx={\frac {1}{4}}xr^{3}+{\frac {1}{8}}3a^{2}xr+{\frac {3}{8}}a^{4}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)

\int r^{5}\;dx={\frac {1}{6}}xr^{5}+{\frac {5}{24}}a^{2}xr^{3}+{\frac {5}{16}}a^{4}xr+{\frac {5}{16}}a^{5}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)

\int xr\;dx={\frac {r^{3}}{3}}

\int xr^{3}\;dx={\frac {r^{5}}{5}}

\int xr^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+3}}{2n+3}}

\int x^{2}r\;dx={\frac {xr^{3}}{4}}-{\frac {a^{2}xr}{8}}-{\frac {a^{4}}{8}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)

\int x^{2}r^{3}\;dx={\frac {xr^{5}}{6}}-{\frac {a^{2}xr^{3}}{24}}-{\frac {a^{4}xr}{16}}-{\frac {a^{6}}{16}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)

\int x^{3}r\;dx={\frac {r^{5}}{5}}-{\frac {a^{2}r^{3}}{3}}

\int x^{3}r^{3}\;dx={\frac {r^{3}}{7}}-{\frac {a^{2}r^{5}}{5}}

\int x^{3}r^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+5}}{2n+5}}-{\frac {a^{3}r^{2n+3}}{2n+3}}

\int x^{4}r\;dx={\frac {x^{3}r^{3}}{6}}-{\frac {a^{2}xr^{3}}{8}}-{\frac {a^{4}xr}{16}}+{\frac {a^{6}}{16}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)

\int x^{4}r^{3}\;dx={\frac {x^{3}r^{5}}{8}}-{\frac {a^{2}xr^{5}}{16}}-{\frac {a^{4}xr^{3}}{64}}+{\frac {3a^{6}xr}{128}}+{\frac {3a^{8}}{128}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)

\int x^{5}r\;dx={\frac {r^{7}}{7}}-{\frac {2a^{2}r^{5}}{5}}+{\frac {a^{4}r^{3}}{3}}

\int x^{5}r^{3}\;dx={\frac {r^{9}}{9}}-{\frac {2a^{2}r^{7}}{7}}+{\frac {a^{4}r^{5}}{5}}

\int x^{5}r^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+7}}{2n+7}}-{\frac {2a^{2}r^{2n+5}}{2n+5}}+{\frac {a^{4}r^{2n+3}}{2n+3}}

\int {\frac {r\;dx}{x}}=r-a\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|=r-a\sinh ^{-1}{\frac {a}{x}}

\int {\frac {r^{3}\;dx}{x}}={\frac {r^{3}}{3}}+a^{2}r-a^{3}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|

\int {\frac {r^{5}\;dx}{x}}={\frac {r^{5}}{5}}+{\frac {a^{3}r^{3}}{3}}+a^{4}r-a^{5}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|

\int {\frac {r^{7}\;dx}{x}}={\frac {r^{7}}{7}}+{\frac {a^{2}r^{5}}{5}}+{\frac {a^{4}r^{3}}{3}}+a^{6}r-a^{7}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|

\int {\frac {dx}{r}}=\sinh ^{-1}{\frac {x}{a}}=\ln \left|x+r\right|

\int {\frac {x\,dx}{r}}=r

\int {\frac {x^{2}\;dx}{r}}={\frac {x}{2}}r-{\frac {a^{2}}{2}}\,\sinh ^{-1}{\frac {a}{x}}={\frac {x}{2}}r-{\frac {a^{2}}{2}}\ln \left|x+r\right|

\int {\frac {dx}{xr}}=-{\frac {1}{a}}\,\sinh ^{-1}{\frac {a}{x}}=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|

توابع تحتوي $s={\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$

بفرض أن $(x^{2}>a^{2})$ ، من أجل $(x^{2}<a^{2})$ ، انظر المقطع اللاحق:

\int xs\;dx={\frac {1}{3}}s^{3}

\int {\frac {s\;dx}{x}}=s-a\cos ^{-1}\left|{\frac {a}{x}}\right|

\int {\frac {dx}{s}}=\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}=\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|

لاحظ أن $\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|=\mathrm {sgn} (x)\cosh ^{-1}\left|{\frac {x}{a}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+s}{x-s}}\right)$ ،

حيث يجب أخذ القيمة الإيجابية لـ $\cosh ^{-1}\left|{\frac {x}{a}}\right|$ .

\int {\frac {x\;dx}{s}}=s

\int {\frac {x\;dx}{s^{3}}}=-{\frac {1}{s}}

\int {\frac {x\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {1}{3s^{3}}}

\int {\frac {x\;dx}{s^{7}}}=-{\frac {1}{5s^{5}}}

\int {\frac {x\;dx}{s^{2n+1}}}=-{\frac {1}{(2n-1)s^{2n-1}}}

\int {\frac {x^{2m}\;dx}{s^{2n+1}}}=-{\frac {1}{2n-1}}{\frac {x^{2m-1}}{s^{2n-1}}}+{\frac {2m-1}{2n-1}}\int {\frac {x^{2m-2}\;dx}{s^{2n-1}}}

\int {\frac {x^{2}\;dx}{s}}={\frac {xs}{2}}+{\frac {a^{2}}{2}}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|

\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{3}}}=-{\frac {x}{s}}+\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|

\int {\frac {x^{4}\;dx}{s}}={\frac {x^{3}s}{4}}+{\frac {3}{8}}a^{2}xs+{\frac {3}{8}}a^{4}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|

\int {\frac {x^{4}\;dx}{s^{3}}}={\frac {xs}{2}}-{\frac {a^{2}x}{s}}+{\frac {3}{2}}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|

\int {\frac {x^{4}\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {x}{s}}-{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|

\int {\frac {x^{2m}\;dx}{s^{2n+1}}}=(-1)^{n-m}{\frac {1}{a^{2(n-m)}}}\sum _{i=0}^{n-m-1}{\frac {1}{2(m+i)+1}}{n-m-1 \choose i}{\frac {x^{2(m+i)+1}}{s^{2(m+i)+1}}}\qquad {\mbox{(}}n>m\geq 0{\mbox{)}}

\int {\frac {dx}{s^{3}}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {x}{s}}

\int {\frac {dx}{s^{5}}}={\frac {1}{a^{4}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}\right]

\int {\frac {dx}{s^{7}}}=-{\frac {1}{a^{6}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}\right]

\int {\frac {dx}{s^{9}}}={\frac {1}{a^{8}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {3}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+{\frac {3}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}-{\frac {1}{7}}{\frac {x^{7}}{s^{7}}}\right]

\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {x^{3}}{3s^{3}}}

\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{7}}}={\frac {1}{a^{4}}}\left[{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}-{\frac {1}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}\right]

\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{9}}}=-{\frac {1}{a^{6}}}\left[{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}-{\frac {2}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {x^{7}}{s^{7}}}\right]

توابع تحتوي $t={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$

\int t\;dx={\frac {1}{2}}\left(xt+a^{2}\sin ^{-1}{\frac {x}{a}}\right)\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}

\int xt\;dx=-{\frac {1}{3}}t^{3}\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}

\int {\frac {t\;dx}{x}}=t-a\ln \left|{\frac {a+t}{x}}\right|\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}

\int {\frac {dx}{t}}=\sin ^{-1}{\frac {x}{a}}\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}

\int {\frac {x^{2}\;dx}{t}}=-{\frac {x}{2}}t+{\frac {a^{2}}{2}}\sin ^{-1}{\frac {x}{a}}\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}

\int t\;dx={\frac {1}{2}}\left(xt-\operatorname {sgn} x\,\cosh ^{-1}\left|{\frac {x}{a}}\right|\right)\qquad {\mbox{(for }}|x|\geq |a|{\mbox{)}}

توابع تحتوي $R^{1/2}={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$

\int {\frac {dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln \left|2{\sqrt {aR}}+2ax+b\right|\qquad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{)}}

\int {\frac {dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\,\sinh ^{-1}{\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\qquad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}>0{\mbox{)}}

\int {\frac {dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln |2ax+b|\quad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}=0{\mbox{)}}

\int {\frac {dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}=-{\frac {1}{\sqrt {-a}}}\arcsin {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\qquad {\mbox{(for }}a<0{\mbox{, }}4ac-b^{2}<0{\mbox{)}}

\int {\frac {dx}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}={\frac {4ax+2b}{(4ac-b^{2}){\sqrt {R}}}}

\int {\frac {dx}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{5}}}}={\frac {4ax+2b}{3(4ac-b^{2}){\sqrt {R}}}}\left({\frac {1}{R}}+{\frac {8a}{4ac-b^{2}}}\right)

\int {\frac {dx}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}={\frac {4ax+2b}{(2n-1)(4ac-b^{2})R^{(2n-1)/2}}}+{\frac {8a(n-1)}{(2n-1)(4ac-b^{2})}}\int {\frac {dx}{R^{(2n-1)/2}}}

\int {\frac {x\;dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}={\frac {\sqrt {R}}{a}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{\sqrt {R}}}

\int {\frac {x\;dx}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}=-{\frac {2bx+4c}{(4ac-b^{2}){\sqrt {R}}}}

\int {\frac {x\;dx}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}=-{\frac {1}{(2n-1)aR^{(2n-1)/2}}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{R^{(2n+1)/2}}}

\int {\frac {dx}{x{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\ln \left({\frac {2{\sqrt {cR}}+bx+2c}{x}}\right)

\int {\frac {dx}{x{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\sinh ^{-1}\left({\frac {bx+2c}{|x|{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\right)

توابع تحتوي $R^{1/2}={\sqrt {ax+b}}$

\int {\frac {dx}{x{\sqrt {ax+b}}}}\,=\,{\frac {-2}{\sqrt {b}}}\tanh ^{-1}{\sqrt {\frac {ax+b}{b}}}

\int {\frac {\sqrt {ax+b}}{x}}\,dx\;=\;2\left({\sqrt {ax+b}}-{\sqrt {b}}\tanh ^{-1}{\sqrt {\frac {ax+b}{b}}}\right)

\int {\frac {x^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\,dx\;=\;{\frac {2}{a}}\left(x^{n+1}{\sqrt {ax+b}}+bx^{n}{\sqrt {ax+b}}-nb\int {\frac {x^{n-1}}{\sqrt {ax+b}}}\right)

\int x^{n}{\sqrt {ax+b}}\,dx\;=\;{\frac {2}{2n+1}}\left(x^{n+1}{\sqrt {ax+b}}+bx^{n}{\sqrt {ax+b}}-nb\int x^{n-1}{\sqrt {ax+b}}\,dx\right)

مواضيع التفاضل والتكامل
ما قبل حساب التفاضل والتكامل ^{[الإنجليزية]}	مبرهنة ذي الحدين دوال خطيَّة مُستمِرة مُقعَّرة العاملي فرق محدود المتغير الحر والمتغير المقيد تمثيل الدالة البياني ميل المستقيم راديان مبرهنة رول القاطع المماس
النهايات	صيغة غير مُحدَّدة نهاية دالة وحيدة الجانب ^{[الإنجليزية]} نهاية متتالية درجة التقريب
حساب التفاضل	مُشتَق تفاضلي ^{[الإنجليزية]} معادلة تفاضلية مؤثر تفاضلي مبرهنة القيمة المتوسطة تدوين التفاضل ^{[الإنجليزية]} لايبنز نيوتن ^{[الإنجليزية]} قواعد التفاضل الخطيَّة الرفع إلى أُس السلسلة لوبيتال الضرب قاعدة لايبنيز العامة ناتج القسمة تقنيات أخرى الدوال العكسية اللوغاريتم المعدلات المرتبطة نقاط الثبات اختبار المشتق مبرهنة القيمة المُتَّطرفة ^{[الإنجليزية]} النقاط الحرجة تطبيقات أُخرى طريقة نيوتن لإيجاد الجذور سلسلة تايلور
حساب التكامل	المبرهنة الأساسية مُشتَق التكامل ثابت التكامل بالتجزئة بالتعويض مُثلثي أويلر ^{[الإنجليزية]} فايرشتراس ^{[الإنجليزية]} تربيعي ^{[الإنجليزية]} شبه المنحرف مُشتَق عكسي طول القوس الحجوم بالأقراص بالطبقات الأسطوانية
حساب المتجهات	مشتق اتجاهي المؤثرات دوران تباعد تدرج لابلاس مبرهنات رئيسة التدرُّج التباعد غرين كلفن وستوكس
حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات	مبرهنة التباعد حساب المصفوفات حساب هندسي ^{[الإنجليزية]} ياكوبية هيسية معامل لاغرانج ^{[الإنجليزية]} تكاملات خط سطح حجم متعدد مشتق جزئي مواضيع مُتقدِّمة أشكال تفاضلية مشتق خارجي مبرهنة ستوكس المُعمَّمة حساب المُوتِّر
المتتاليات والسلاسل	متتالية حسابية هندسية ^{[الإنجليزية]} أنواع السلاسل متناوبة ذات حدين فورييه هندسية متناسقة قوى تايلور متداخلة اختبارات التقارب أبيل ^{[الإنجليزية]} السلاسل المتناوبة ^{[الإنجليزية]} كوشي للتكثيف ^{[الإنجليزية]} المقارنة المباشرة ^{[الإنجليزية]} دركليه ^{[الإنجليزية]} التكامل ^{[الإنجليزية]} مقارنة النهايات ^{[الإنجليزية]} النسبة الأصل ^{[الإنجليزية]} الحد النوني
دوال وأرقام مُميَّزة	أعداد برنولي ثابت أويلر دالة أسية لوغاريتم طبيعي تقريب ستيرلينغ
تاريخ التفاضل والتكامل	شخصيات تايلور ماكلورين لايبنتس نيوتن أويلر مفاهيم تسوية ^{[الإنجليزية]} المتناهيات في الصغر التدفق قانون الاستمرارية ^{[الإنجليزية]} عمومية الجبر ^{[الإنجليزية]} كتب طريقة المبرهنات الميكانيكية طرق التدفق
قوائم	قواعد التفاضل تكاملات الدوال اللوغاريتمية الأسية المثلثية العكسية القواطع ^{[الإنجليزية]} المُكعَّبة ^{[الإنجليزية]} الزائدية العكسية الكسرية غير الكسرية النهايات
مواضيع متنوعة	الانحناء هندسة تفاضلية للمنحنيات للسطوح ^{[الإنجليزية]} صيغة أويلر وماكلورين بوق جبريل إثبات أن 22/7 أكبر من π مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى ^{[الإنجليزية]} مجسم شتاينميتز ^{[الإنجليزية]}
تصنيف • كومنز بوابة رياضيات • بوابة تحليل رياضي • بوابة هندسة رياضية

قائمة تكاملات الدوال غير الكسرية

توابع تحتوي r = a 2 + x 2 {\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}

توابع تحتوي s = x 2 − a 2 {\displaystyle s={\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}

توابع تحتوي t = a 2 − x 2 {\displaystyle t={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}

توابع تحتوي R 1 / 2 = a x 2 + b x + c {\displaystyle R^{1/2}={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}

توابع تحتوي R 1 / 2 = a x + b {\displaystyle R^{1/2}={\sqrt {ax+b}}}

اقرأ أيضاً

توابع تحتوي $r={\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$

توابع تحتوي $s={\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$

توابع تحتوي $t={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$

توابع تحتوي $R^{1/2}={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$

توابع تحتوي $R^{1/2}={\sqrt {ax+b}}$