مبرهنة التباعد

في تحليل المتجهات، تحقق مبرهنة التباعد (وتسمى أيضًا مبرهنة غاوس أو مبرهنة أوستروغرادسكي) المساواة بين تكامل تباعد حقل متجهي على الحجم في $\mathbb {R} ^{3}$ وتدفق هذا الحقل عبر حدود الحجم (وهو التكامل السطحي).[1][2]

المساواة هي على النحو التالي: $\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}{\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}\,dV=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}{\overrightarrow {F}}\cdot d{\overrightarrow {S}}$

حيث :

${\mathcal {V}}\,$ هو الحجم
$\partial {\mathcal {V}}\,$ هي حدود ${\mathcal {V}}$
$d{\overrightarrow {S}}$ هو المتجه العمودي على السطح، موجه للخارج ومعياره يساوي العنصر السطحي الذي يمثله
${\overrightarrow {F}}$ هو حقل متجهي قابل للاشتقاق باستمرار في أي نقطة من ${\mathcal {V}}$ .
${\overrightarrow {\nabla }}$ هو المؤثر نابلا؛ ${\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}=\mathrm {div} \ {\overrightarrow {F}}$

هذه المبرهنة تتبع مبرهنة ستوكس التي في حد ذاتها، تعمم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل .

التفسير الفيزيائي

هي نتيجة مهمة في الفيزياء الرياضية، خاصة في الكهرباء الساكنة وديناميات الموائع ، حيث تعكس هذه المبرهنة قانون الحفظ . وفقًا لإشارته، يعبر الاختلاف عن تشتت أو تركيز مقدار (مثل الكتلة على سبيل المثال) وتشير المبرهنة السابقة إلى أن التشتت داخل الحجم يكون بالضرورة مصحوبًا بتدفق إجمالي مكافئ يغادر حدوده.

تسمح هذه المبرهنة بشكل خاص لايجاد نسخة تكاملية لمبرهنة غاوس في الكهرومغناطيسية من معادلة ماكسويل-غاوس:

\mathrm {div} \ {\overrightarrow {E}}\ =\ {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.

علاقات أخرى

هذه المبرهنة تجعل من الممكن استنتاج صيغ معينة مفيدة من الحساب المتجهي. في التعبيرات أدناه:

{\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}=\mathrm {div} \,{\overrightarrow {F}},\,{\overrightarrow {\nabla }}g={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,g\,,{\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {F}}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {F}}\,

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}\left({\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}g+g\left({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}\right)\right)dV=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}g{\overrightarrow {F}}\cdot d{\overrightarrow {S}},

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}{\overrightarrow {\nabla }}g\,dV=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}g\,d{\overrightarrow {S}},

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}\left({\overrightarrow {G}}\cdot \left({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {F}}\right)-{\overrightarrow {F}}\cdot \left({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {G}}\right)\right)dV=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}\left({\overrightarrow {F}}\wedge {\overrightarrow {G}}\right)\cdot d{\overrightarrow {S}},

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}{\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {F}}dV=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}d{\overrightarrow {S}}\wedge {\overrightarrow {F}},

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}\left(f{\overrightarrow {\nabla }}^{2}g+{\overrightarrow {\nabla }}f\cdot {\overrightarrow {\nabla }}g\right)dV=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}f{\overrightarrow {\nabla }}g\cdot d{\overrightarrow {S}}.

على وجه الخصوص، تستخدم هذه الصيغ للحصول على صياغات ضعيفة مرتبطة بمشاكل المشتقات الجزئية .

مراجع

"معلومات عن مبرهنة التباعد على موقع psh.techlib.cz"، psh.techlib.cz، مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2021.
"معلومات عن مبرهنة التباعد على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 12 يناير 2020.

بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] "معلومات عن مبرهنة التباعد على موقع psh.techlib.cz"، psh.techlib.cz، مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2021.

[2] "معلومات عن مبرهنة التباعد على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 12 يناير 2020.

مواضيع التفاضل والتكامل
ما قبل حساب التفاضل والتكامل ^{[الإنجليزية]}	مبرهنة ذي الحدين دوال خطيَّة مُستمِرة مُقعَّرة العاملي فرق محدود المتغير الحر والمتغير المقيد تمثيل الدالة البياني ميل المستقيم راديان مبرهنة رول القاطع المماس
النهايات	صيغة غير مُحدَّدة نهاية دالة وحيدة الجانب ^{[الإنجليزية]} نهاية متتالية درجة التقريب
حساب التفاضل	مُشتَق تفاضلي ^{[الإنجليزية]} معادلة تفاضلية مؤثر تفاضلي مبرهنة القيمة المتوسطة تدوين التفاضل ^{[الإنجليزية]} لايبنز نيوتن ^{[الإنجليزية]} قواعد التفاضل الخطيَّة الرفع إلى أُس السلسلة لوبيتال الضرب قاعدة لايبنيز العامة ناتج القسمة تقنيات أخرى الدوال العكسية اللوغاريتم المعدلات المرتبطة نقاط الثبات اختبار المشتق مبرهنة القيمة المُتَّطرفة ^{[الإنجليزية]} النقاط الحرجة تطبيقات أُخرى طريقة نيوتن لإيجاد الجذور سلسلة تايلور
حساب التكامل	المبرهنة الأساسية مُشتَق التكامل ثابت التكامل بالتجزئة بالتعويض مُثلثي أويلر ^{[الإنجليزية]} فايرشتراس ^{[الإنجليزية]} تربيعي ^{[الإنجليزية]} شبه المنحرف مُشتَق عكسي طول القوس الحجوم بالأقراص بالطبقات الأسطوانية
حساب المتجهات	مشتق اتجاهي المؤثرات دوران تباعد تدرج لابلاس مبرهنات رئيسة التدرُّج التباعد غرين كلفن وستوكس
حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات	مبرهنة التباعد حساب المصفوفات حساب هندسي ^{[الإنجليزية]} ياكوبية هيسية معامل لاغرانج ^{[الإنجليزية]} تكاملات خط سطح حجم متعدد مشتق جزئي مواضيع مُتقدِّمة أشكال تفاضلية مشتق خارجي مبرهنة ستوكس المُعمَّمة حساب المُوتِّر
المتتاليات والسلاسل	متتالية حسابية هندسية ^{[الإنجليزية]} أنواع السلاسل متناوبة ذات حدين فورييه هندسية متناسقة قوى تايلور متداخلة اختبارات التقارب أبيل ^{[الإنجليزية]} السلاسل المتناوبة ^{[الإنجليزية]} كوشي للتكثيف ^{[الإنجليزية]} المقارنة المباشرة ^{[الإنجليزية]} دركليه ^{[الإنجليزية]} التكامل ^{[الإنجليزية]} مقارنة النهايات ^{[الإنجليزية]} النسبة الأصل ^{[الإنجليزية]} الحد النوني
دوال وأرقام مُميَّزة	أعداد برنولي ثابت أويلر دالة أسية لوغاريتم طبيعي تقريب ستيرلينغ
تاريخ التفاضل والتكامل	شخصيات تايلور ماكلورين لايبنتس نيوتن أويلر مفاهيم تسوية ^{[الإنجليزية]} المتناهيات في الصغر التدفق قانون الاستمرارية ^{[الإنجليزية]} عمومية الجبر ^{[الإنجليزية]} كتب طريقة المبرهنات الميكانيكية طرق التدفق
قوائم	قواعد التفاضل تكاملات الدوال اللوغاريتمية الأسية المثلثية العكسية القواطع ^{[الإنجليزية]} المُكعَّبة ^{[الإنجليزية]} الزائدية العكسية الكسرية غير الكسرية النهايات
مواضيع متنوعة	الانحناء هندسة تفاضلية للمنحنيات للسطوح ^{[الإنجليزية]} صيغة أويلر وماكلورين بوق جبريل إثبات أن 22/7 أكبر من π مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى ^{[الإنجليزية]} مجسم شتاينميتز ^{[الإنجليزية]}
تصنيف • كومنز بوابة رياضيات • بوابة تحليل رياضي • بوابة هندسة رياضية

مبرهنة التباعد

التفسير الفيزيائي

علاقات أخرى

مقالات ذات صلة

مراجع