معادلات ماكسويل

كانت هذه المعادلات معروفة من قبل لكن بصيغة مختلفة:

• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
• ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$
• ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} }$

الدافع وراء نسبة هذه المعادلات إلى ماكسويل رغم أنه ليس هو من وضعها هو اكتشافه وبرهنته على أنها سليمة فقط في حال كان المجال الكهربائي E ساكنا. أي أن المعادلات السابقة هي حالة خاصة ولا تنطبق إلا عندما يكون:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0}$

قام ماكسويل بافتراض تصحيحات لهذه المعادلات ولم يثبتها في التجربة وقام بتعميمها لتشمل المجالات الكهربية المتغيرة زمنيا مما مهد الطريق لاكتشاف الموجات الكهرومغناطيسية ومعادلتها كما فرض أن الضوء عبارة عن موجة كهرومغناطيسية إضافة إلى أهم ما قام به وهو افتراض وجود تيار يسري في العوازل أطلق عليه مسمى تيار الإزاحة.

مسمى المعادلة	الشكل التفاضلي	الشكل التكاملي
قانون غاوس:	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho dV}$
قانون غاوس للمغناطيسية:	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}$
قانون الحث لفرداي:	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }$
قانون أمبير مضافا إلى تصحيح ماكسويل:	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +{d \over dt}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} }$

والجدير بالذكر أن المعادلة الأخيرة هي في الأصل تعديل للقانون الأصلي لأمبير والذي يصف العلاقة بين المجال المغناطيسى والتيارات المنشئة له في صورتها التكاملية ولكن بعد الوضع في الاعتبار تيار الإزاحة---- وقانون أمبير في صورته العامة يوضح أن المجال المغناطيسى يمكن أن ينشأ عن تيار كهربى أو عن مجال كهربى متغير مع الزمن.

قام ماكسويل بحل هذه المعادلات الأربع للفراغ وتوصل إلى الصلة الوثيقة بين سرعة الموجة الكهرومغناطيسية وبين ثابت العازلية وثابت النفاذية.

يمكن إعادة المعادلات السابقة على افتراض أن الضوء ينتشر في الفراغ حيث لاتوجد أي شحنات كهربائية أي أن ${\displaystyle \rho =0\,}$ و${\displaystyle \mathbf {J} =0\,}$ فتصبح بالصورة

• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
• ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
• ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

لإيجاد معادلة الموجة يجب إيجاد المشتقة الثانية في كل من الزمن والفضاء. بداية بأخذ الالتواء لطرفي المعادلة الثالثة وبتعويض النتيجة في المعادلة الرابعة نجد أن

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial \mathbf {\nabla \times \mathbf {B} } }{\partial t}}}$

من نظرية تفاضل المتجه، نعلم أن ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-\nabla ^{2}\mathbf {E} +\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {E} )}$

على هذا الأساس تصبح

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}}$

وهذه معادلة موجة في ثلاثة أبعاد، وللتبسيط يمكن دراستها في بعد واحد بالشكل

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E}{\partial x^{2}}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}}$

بالبحث عن حل للمعادلة الجيبية، بدلالة السرعة ${\displaystyle v}$ والطول الموجي ${\displaystyle \lambda }$ يفترض أن تكون

${\displaystyle E=E_{0}\sin(2\pi {\frac {x-vt}{\lambda }})}$

بمفاضلة هذه المعادلة مرتين نحصل على

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E}{\partial x^{2}}}=-E_{0}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}\sin \left(2\pi {\frac {x-vt}{\lambda }}\right)}$

و

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=-E_{0}\left({\frac {2\pi v}{\lambda }}\right)^{2}\sin \left(2\pi {\frac {x-vt}{\lambda }}\right)}$

بالتعويض عنها مرة أخرى في معادلة الموجة نجد أنها تمثل حلاً شريطة أن

${\displaystyle v^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$

أي أن سرعة الموجة الكهرومغنطيسية هي:

${\displaystyle v={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}}$

• كهرومغناطيسية
• سماحية الفراغ
• نفاذية الفراغ
• قانون جاوس للمغناطيسية
• قانون فاراداي
• معادلات آينشتين للمجال

• بوابة كهرباء
• بوابة الفيزياء
• بوابة إلكترونيات