تأثير جيوديسي

تم التأكد من تأثير الجيوديسي إلي دقة أفضل من 0.5% باستخدام مسبار الجاذبية، وهي التجربة التي تقيس ميل محور دوران الجيروسكوبات في المدار حول الأرض.[4]

وقد تم إعلان النتائج الأولي في 14 إبريل 2007 . في اجتماع للجمعية الفيزيائية الأمريكية.[5]

للوصول إلي صيغه نفترض ان النظام في شوارزشيلد المتري الدوار، والذي لايدور يكون:

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi '^{2}),}$

حيث c = G = 1

${\displaystyle d\phi =d\phi '-\omega \,dt.}$

فيكون

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)\left(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi \right)^{2}-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi ^{2}}$

ومع ${\displaystyle \beta =\sin ^{2}(\theta )}$ و θ = π/2 و β = 1

${\displaystyle ds^{2}=e^{2\Phi }\left(dt-w_{i}\,dx^{i}\right)^{2}-k_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.}$

ومن هذه الصيغة نستطيع تحديد قيمة الدوران

${\displaystyle \Omega ={\frac {\sqrt {2}}{4}}e^{\Phi }[k^{ik}k^{jl}(\omega _{i,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}={\frac {{\sqrt {\beta }}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta }}\omega .}$

وبما أن ${\displaystyle \Phi ,_{i}=0}$

فإن

${\displaystyle \Phi ,_{i}={\frac {2m/r^{2}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2})}}=0.}$

ويكون حلّ المعادلة

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {m}{r^{3}\beta }}.}$

ومن خلال قوانين كبلر

${\displaystyle \Delta \tau =\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)^{1/2}\,dt=\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}\,dt.}$

و حيث ${\displaystyle \alpha '=\Omega \Delta \tau }$ فإن

${\displaystyle \alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}-1{\Bigg )}.}$

ومع الدرجة الأولي لمتسلسلة تايلور وماكلورين نجد أن

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {3\pi m}{r}}{\sqrt {\beta }}={\frac {3\pi m}{r}}\sin(\theta ).}$

• Gravity Probe B websites at NASA and Stanford University
• Precession in Curved Space "The Geodetic Effect"
• Geodetic Effect

• Wolfgang Rindler (2006) Relativity: special, general, and cosmological (2nd Ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8

• بوابة الفيزياء