مترية كير

تصف مترية كير هندسة الزمكان في محيط كتلة M تدور مع زخم زاوي J. عنصر الخط في إحداثيات بوير - ليندكواست هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}-c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}=&-\left(1-{\frac {r_{s}r}{\Sigma }}\right)c^{2}dt^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}\\&+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {r_{s}ra^{2}}{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \ d\phi ^{2}-{\frac {2r_{s}ra\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\,c\,dt\,d\phi \end{aligned}}}$

(1)

حيث تكون الإحداثيات r,θ,Φ هي نظام الإحداثيات الكروي القياسي، وهو ما يعادل الإحداثيات الديكارتية.:

${\displaystyle {x}={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi }$

(2)

${\displaystyle {y}={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi }$

(3)

${\displaystyle {z}=r\cos \theta }$

(4)

و RS هو نصف قطر شفارتسشيلد

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

(5)

و حيث تم إدخال المقاييس الطولية Σ ,a و Δ للإيجاز

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}}$

(6)

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }$

(7)

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{s}r+a^{2}}$

(8)

هناك سمة رئيسية يجب ملاحظتها في المقياس أعلاه وهي مصطلح حاصل الضرب${\displaystyle {\begin{aligned}dt\,d\phi \end{aligned}}}$.هذا يعني أن هناك اقترانًا بين الوقت والحركة في مستوى محور الدوران الذي يختفي عندما ينتقل الزخم الزاوي للثقب السوداء إلى الصفر.

في الحد غير النسبي حيث يذهب ${\displaystyle M}$(أو، بالتكافؤ، ${\displaystyle r_{s}}$) إلى الصفر، تصبح هندسة كير المقياس المتعامد للإحداثيات الكرواني المفلطح.:

${\displaystyle g\mathop {\longrightarrow } \limits _{M\to 0}-c^{2}dt^{2}+{\frac {\Sigma }{r^{2}+a^{2}}}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

(9)

إجمالي الكتلة ${\displaystyle M}$(كتلة الانجذاب) للجسم (بما في ذلك طاقته الدورانية) وكتلته غير القابلة للاختزال ${\displaystyle Mir}$على ارتباط كما تدل هذه المعادلة:

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {M^{4}-{\frac {J^{2}c^{2}}{G^{2}}}}}+M^{2}}{2}}}\ \to \ M=2{\sqrt {\frac {M_{\rm {irr}}^{4}}{4M_{\rm {irr}}^{2}-{\frac {a^{2}c^{4}}{G^{2}}}}}}}$

إذا تم استخراج كامل الطاقة الدورانية ${\displaystyle E_{\rm {rot}}=c^{2}\left(M-M_{\rm {irr}}\right)}$ من الثقب الأسود، على سبيل المثال بآلية بنروز، فإن الكتلة المتبقية لا يمكن أن تتقلص تحت الكتلة غير القابلة للاختزال. لذلك، إذا كان الثقب الأسود يدور مع تدويم ${\displaystyle a=M}$ ، فإن إجمالي الكتلة ${\textstyle M}$ يكون أعلى بعامل ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$بالمقارنة مع ثقب شفارتسشيلد حيث ${\displaystyle M}$مساوي ل ${\textstyle M_{\rm {irr}}}$والسبب في ذلك هو أنه من أجل تدوير جسم ثابت، يجب تطبيق الطاقة على النظام. وبسبب تكافؤ الكتلة-الطاقة، فإن هذه الطاقة لديها أيضًا مكافئ الكتلة، مما يزيد من إجمالي طاقة النظام.

يمكن التعبير عن مترية كير في شكل «كير - شيلد»، باستخدام مجموعة معينة من الإحداثيات الديكارتية على النحو التالي. تم اقتراح هذه الحلول من قبل كير وشيلد في عام 1965.

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

(10)

${\displaystyle f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr\right]}$

(11)

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

(12)

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

(13)

لاحظ أن k هو متجه وحدة. هنا M هي الكتلة الثابتة لجسم الغزل، η هي موتر مينكوسكي، وهي عبارة عن معلمة دورانية ثابت لجسم الغزل. من المفهوم أن المتجه ${\displaystyle {\vec {a}}}$ يتم توجيهه على طول المحور z الموجب. لا تمثل الكمية r نصف القطر، وإنما يتم تعريفها ضمنيًا على هذا النحو:

${\displaystyle 1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}}$

(14)

لاحظ أن الكمية r تصبح نصف القطر المعتاد R

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

عندما تقترب المعلمة الدورانية a من الصفر. في هذا الشكل من الحلول، يتم اختيار الوحدات بحيث تكون سرعة الضوء وحدة (c = 1). على مسافات كبيرة من المصدر (R >> a)، تقل هذه المعادلات إلى نموذج ادينغتون – فينكلستين في مترية شفارتسشيلد.

في نموذج كير – شيلد لهندسة كير، يكون محدد الموتر المتري سالباً في كل مكان، حتى بالقرب من المصدر.

[1]