ميكانيكا نسبية

هناك طريقتان (متكافئتان) لتعريف كمية الحركة والطاقة في النسبية الخاصة. إحدى الطريقتين تستخدم قوانين الانحفاظ. إذا بقيت هذه القوانين صالحة في النسبية الخاصة؛ يجب أن تكون صحيحة في كل إطار مرجعي ممكن. لكن، إذا أجرى المرء تجارب فكرية بسيطة باستخدام التعاريف النيوتونية لكمية الحركة والطاقة، فإنه يرى أن هذه الكميات ليست محفوظة في النسبية الخاصة. يمكن للمرء إنقاذ فكرة الانحفاظ بإجراء بعض التعديلات الصغيرة للتعاريف لإدخال السرع النسبية فيها. هذه التعاريف الجديدة هي التي تعد صحيحة لتعريف الطاقة وكمية الحركة في النسبية الخاصة.

كمية الحركة الرباعية لجسم واضحة، فهي تطابق في الشكل كمية الحركة التقليدية، ولكن باستبدال الأشعة الثلاثية بالأشعة الرباعية:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )}$

الطاقة وكمية الحركة لجسم ذي كتلة متغيرة m₀ (تدعى أيضًا الكتلة السكونية) يتحرك بسرعة v بالنسبة لإطار مرجعي معطى، تعطيان على الترتيب وفق:

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

المعامل γ(v) يأتي من تعريف السرعة الرباعية الموصوف أعلاه. يمكن التعبير عن ظهور المعامل ##رمز## بطريقة بديلة، مشروحة في القسم التالي.

الطاقة الحركية K معرفة كما يلي:

${\displaystyle K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,}$

وتعطى السرعة كتابع للطاقة الحركية وفق:

${\displaystyle v={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.}$

الكمية

${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}}$

تُدعى عادةً الكتلة النسبية للجسم في الإطار المرجعي المعطى.[1]

يجعل هذا العلاقة النسبية بين السرعة المكانية وكمية الحركة المكانية تبدو متطابقة. ولكن هذا قد يكون أمرًا مضللًا، إذ فهو غير مناسب في النسبية الخاصة تحت كل الظروف. فمثلًا، لا تُمكن كتابة الطاقة الحركية والقوة في النسبية الخاصة تمامًا كمثيلاتها التقليدية باستبدال الكتلة بالكتلة النسبية فحسب، بل وإن هذه الكتلة النسبية ليست ثابتة في تحويلات لورنتز، على العكس من الكتلة السكونية التي تكون ثابتة. لهذا السبب يجد الكثير من الناس أن من الأسهل استخدام الكتلة السكونية (مدخلين تبعًا لذلك γ عبر السرعة الرباعية أو الزمن الإحداثي)، وإغفال مفهوم الكتلة النسبية.

اقترح ليف ب. أوكن أن «هذا الاصطلاح... لا يمتلك تبريرًا منطقيًّا اليوم» ويجب ألا يتم تدريسه بعد الآن.[2]

جادل فيزيائيون آخرون منهم وولفغانغ ريندلر وت. ر. ساندين بأن الكتلة مفهوم مفيد، وليس هناك أسباب كافية للتوقف عن استخدامها.[3]

يستخدم بعض المؤلفين m للتعبير عن الكتلة النسبية وm₀ للكتلة السكونية، في حين يستخدم آخرون ببساطة m للكتلة السكونية. تستخدم هذه المقالة الطريقة الأولى في الكتابة للوضوح.

تتعلق الطاقة وكمية الحركة لجسم ما ذي كتلة غير متغيرة m₀ ببعضهما وفق المعادلات:

${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}\,}$

${\displaystyle \mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v} \,.}$

تسمى المعادلة الأولى العلاقة النسبية بين الطاقة وكمية الحركة. يمكن اشتقاقها باعتبار أن المقدار ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}$ يمكن كتابته بالشكل ${\displaystyle {\frac {p^{2}}{\gamma ^{2}m_{0}^{2}c^{2}}}}$ حيث يمكن كتابة المقام (المخرج) بالشكل ${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}}$. الآن، يمكن استبدال غاما في علاقة الطاقة. في حين تعتمد الطاقة E وكمية الحركة p على الإطار المرجعي الذي تقاسان فيه، الكمية E² − (pc)² غير متغيرة، وتظهر كـc² ضعفًا من مربع طويلة الشعاع الرباعي لكمية الحركة أي (m₀c)².

الكتلة غير المتغيرة لنظام ما:

${\displaystyle {m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}}$

تختلف عن مجموع الكتل السكونية للجسيمات التي تكونها بسبب الطاقة الحركية وطاقة الربط. الكتلة السكونية ليست كمية محفوظة في النسبية الخاصة بعكس ما هو الحال في الفيزياء النيوتونية. ولكن، حتى ولو كان الجسم يتغير داخليًّا، ما دام لا يتبادل الطاقة مع محيطه، فلن تتغير الكتلة السكونية، ويمكن حسابها وإيجاد نفس النتيجة مهما يكن الإطار المرجعي المستخدَم.

يدعى الجسيم ذو الكتلة السكونية التي تساوي الصفر جسيمًا عديم الكتلة. يُعتقد أن الفوتونات والغرافيتونات جسيمات عديمة الكتلة، والنيوترينو يكاد يكون كذلك أيضًا.