متسلسلة متداخلة

في الرياضيات ، المتسلسة المتداخلة هي متسلسة، تكتب على شكل $t_{n}$ بحيث $t_{n}=a_{n}-a_{n+1}$ ، أي الفرق بين عددين متتاليتين في المتتالية $(a_{n})$ .^{[بحاجة لمصدر]}

نتيجة لذلك ، تتكون المجاميع الجزئية فقط من عبارتين من المتتالية $(a_{n})$ بعد أن يلغيا بعضهما.[1][2]

على سبيل المثال ، المتسلسلة :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}

(مجموع مقلوبات الأعداد البرونية ) يمكن أن تبسط كالآتي :

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}

تعميم

متسلسلة متداخلة من القوى

المجاميع المتداخلة هي مجاميع محدودة تلغي فيها العبارات المتتالية بعضها البعض ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية.[3]

لتكن $a_{n}$ متسلسلة من الأعداد. إذاً،

$\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}$

إذا كانت $a_{n}\rightarrow 0$ ، فإن :

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}$

الجداءات المتداخلة هي جداءات محدودة حيث تلغي العبارات المتتالية المقام بالبسط ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية. لتكن $a_{n}$ متسلسلة من الأعداد. إذاً،

$\prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}$

إذا كانت $a_{n}\rightarrow 1$ ، فإن :

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}$

أمثلة أخرى

يمكن تمثيل العديد من الدوال المثلثية كفرق بين مجموعة من العبارات ، مما يسمح بالإلغاء بين العبارات المتتالية.

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}$

بعض المجاميع تحت الشكل الآتي :

$\sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}$

بحيث $f$ و $g$ هم دوال متعددة الحدود يمكن تقسيم كسرهما إلى كسور جزئية ، هذه الطريقة لا تستوفي الجمع. على وجه الخصوص :

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}$

المشكلة هي أنه هنا العبارات لا تلغي بعضها البعض.

مراجع

Tom M. Apostol, Calculus, Volume 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, pages 422–3
Brian S. Thomson and Andrew M. Bruckner, Elementary Real Analysis, Second Edition, CreateSpace, 2008, page 85
Weisstein, Eric W.، "Telescoping Sum"، MathWorld (باللغة الإنجليزية)، Wolfram، مؤرشف من الأصل في 11 نوفمبر 2020.

بوابة تحليل رياضي
بوابة رياضيات

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Tom M. Apostol, Calculus, Volume 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, pages 422–3

[2] Brian S. Thomson and Andrew M. Bruckner, Elementary Real Analysis, Second Edition, CreateSpace, 2008, page 85

[3] Weisstein, Eric W.، "Telescoping Sum"، MathWorld (باللغة الإنجليزية)، Wolfram، مؤرشف من الأصل في 11 نوفمبر 2020.