المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل

تقول المبرهنة :

I.

لتكن f دالة حقيقية مستمرة معرفة على مجال مغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة للمتغير x ضمن المجال [a, b] فإن

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$

عندئذ :

${\displaystyle F'(x)=f(x)\,}$

من أجل كل قيمة ل x في (a, b).

II.

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

${\displaystyle f(x)=F'(x)\,}$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال (a, b)عندئذ :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$.

لنحسب التكامل التالي:

${\displaystyle \displaystyle \int _{3}^{9}x^{3}\,\mathrm {d} x.}$

هنا لدينا ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$، أي يمكن استعمال ${\displaystyle F(x)={\dfrac {x^{4}}{4}}}$ كمشتق عكسي. بالتالي:

${\displaystyle \displaystyle \int _{3}^{9}x^{3}\,\mathrm {d} x=F(9)-F(3)={\dfrac {9^{4}}{4}}-{\dfrac {3^{4}}{4}}={\dfrac {6480}{4}}=1620.}$

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي