مبرهنة التدرج

إذا كانت φ دالة قابلة للتفاضل من المجموعة الجزئية المفتوحة U (لـ ℝⁿ) نحو ℝ، وإذا كانت r دالة قابلة للتفاضل من الفترة المغلقة [a, b] نحو U، حسب قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات، فإن الدالة المركبة φ ∘ r قابلة للتفاضل على (a, b) و:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$

لكل t في (a, b). هنا، تشير " ⋅ " إلى الجداء الداخلي.

نفترض الآن أن المجال U لـ φ يحتوي على المنحنى القابل للتفاضل γ بنقاط النهاية p و q, (موجه في الاتجاه من p إلى q). إذا كانت r توسِّط γ من أجل t في الفترة [a, b]، فإن ما ورد أعلاه يوضح ما يلي: [1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\end{aligned}}}$

حيث تُستخدَم تعريف التكامل الخطي في المساواة الأولى، وتُستخدَم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل في المساواة الثالثة.

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي
• بوابة الفيزياء