نهاية دالة

${\displaystyle \lim _{y\to d}f(y)=e}$, و${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=d\Rightarrow \lim _{x\to c}f(g(x))=e}$

غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين: أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد ${\displaystyle \delta >0}$ حيث إذا توفر ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ فإن ${\displaystyle |g(x)-d|>0}$).

[2][3]

نظرية

العدد ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة ${\displaystyle \left(a_{n}\right)}$ في A بحيث ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=c}$ و ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \;:\;a_{n}\neq c}$ .

مثال:

الفترة المفتوحة${\displaystyle A_{1}=\left(0,1\right)}$ كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ${\displaystyle A_{1}}$. النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ ${\displaystyle \left(A_{1}\right)}$ لكنها لا تنتمي إلى

${\displaystyle \left(A_{1}\right)}$. كل النقاط في ${\displaystyle \left(A_{1}\right)}$ هي نقاط تراكم ل ${\displaystyle \left(A_{1}\right)}$

1. المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
2. المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

نظرية

لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة:

${\displaystyle \lim _{x\to \mathbf {c} }f(x)=L}$ إذا أعطي ${\displaystyle \epsilon }$ جوار لـL

${\displaystyle \mathbf {V} _{\epsilon }\left(L\right)}$ يوجد${\displaystyle \delta }$ جوار لـ c 
${\displaystyle \mathbf {V} _{\delta }\left(C\right)}$ بحيث x≠c هي أي نقطة في ${\displaystyle \mathbf {V} _{\epsilon }\left(C\right)\cap \mathbf {A} }$ إذاً${\displaystyle f(x)\in \mathbf {V} _{\epsilon }\left(L\right)}$

1) ${\displaystyle \lim _{x\to \mathbf {c} }b=b}$

الحل

أفترض f(x)=b, لكل${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, نريد إثبات أن ${\displaystyle \lim _{x\to \mathbf {c} }f(x)=b}$ ، وإذا كان ${\displaystyle \epsilon >o}$, نفترض ${\displaystyle \delta =1}$.

(في الحقيقة في أي ${\displaystyle \delta }$ موجبة ستكون كافية للغرض«أي أي عدد موجب سيكون مقبول»),

إذا ${\displaystyle 0<|x-c|<1}$ , ((الواحد تعويض عن ${\displaystyle \delta }$)) لدينا ${\displaystyle |f(x)-b|=|b-b|=0<\epsilon }$ وبما أن ${\displaystyle \epsilon >0}$أجراء تعسفي (إجباري), نستنتج من تعريف النهاية أن ${\displaystyle \lim _{x\to \mathbf {c} }f(x)=b}$

2) ${\displaystyle \lim _{x\to \mathbf {c} }x=b}$

الحل:

لتكن g(x)=x , لكل ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ , إذا كان${\displaystyle \epsilon >0}$ نختار ${\displaystyle \delta _{\left(\epsilon \right)}=\epsilon }$ إذاًو إذا كانت

${\displaystyle 0<|x-c|<\delta _{\left(\epsilon \right)}}$, يكون لدينا ${\displaystyle |g(x)-c|=|x-c|<\epsilon }$, بما أن ${\displaystyle \epsilon >0}$, نستنتج أن ${\displaystyle \lim _{x\to \mathbf {c} }g=c}$

مما يعني أن ${\displaystyle \lim _{x\to \mathbf {c} }x=c}$

إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:

1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L

${\displaystyle \left(\lim _{x\to \mathbf {c} }f=L\right)}$

2/ لكل متتابعة ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ في A تتقارب إلى c بحيث ${\displaystyle x_{n}\neq c}$ لكل ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , المتتابعه

${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ تتقارب إلى L

لنفرض أن ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

1/ إذا كانت ${\displaystyle l\in \mathbb {R} }$ ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة ${\displaystyle x_{n}}$ في A و${\displaystyle x_{n}\neq c}$ لكل ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ بحيث المتتابعة ${\displaystyle x_{n}}$ تتقارب إلى c لكن المتتابعة

${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$ لا تتقارب إلى L

2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة ${\displaystyle x_{n}}$ في A و

${\displaystyle x_{n}\neq c}$ لكل ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ بحيث المتتابعة ${\displaystyle x_{n}}$ تتقارب إلى c لكن المتتابعة.

${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$ ليست تقاربية في R

1/ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {1}{x}}\right)}$ غير موجودة

الحل

نفرض أن ${\displaystyle \varphi \left(x\right)={\frac {1}{x}}}$ إذا كانت x>0 سنعتبر c=0 إذا أخذنا المتتابعة لـ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ حيث ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{x}}}$ هذا سيؤدي إلى أن ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}x_{n}=0}$ لكن ${\displaystyle \left(x_{n}\right)={\frac {1}{\frac {1}{n}}}=n}$ وكما نعلم أن المتتابعة ${\displaystyle \left(\varphi \left(x_{n}\right)\right)=n}$ ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}}$ غير موجودة.