معيار (رياضيات)

بعض الكتب تشترط في تعريفها أن تحقق ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ خاصية أخرى وهي ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\geq 0}$ لكل ${\displaystyle x}$ من ${\displaystyle E}$

لكنه لا توجد ضرورة لإدراجها في التعريف ما دامت الخاصيات المذكورة في التعريف تستلزم تحقيق هذه الخاصية :

${\displaystyle 0={\mathcal {N}}(0_{E})={\mathcal {N}}(x+(-x))\leq {\mathcal {N}}(x)+|-1|{\mathcal {N}}(x)=2{\mathcal {N}}(x)}$

$${\displaystyle \Longrightarrow \qquad 0\leq {\mathcal {N}}(x)}$$

في فضاء متجهي إقليدي ${\displaystyle E}$ وهو فضاء متجهي ${\displaystyle E}$ معرف على حقل الأعداد الحقيقية ${\displaystyle \mathbb {R} }$ مزود بجداء سلمي ${\displaystyle \langle x|y\rangle }$ (لكل عنصر${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$من ${\displaystyle E}$) و بُعده منتهٍ كمثال الفضاء المتجهي ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$

نعرف ونرمز للمعيار الاقليدي بـ :

${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x\rVert _{2}:={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}$

في حالة المثال ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$ يكون الجداء السلمي غالبا (لأنه يمكن إنشاء جداء سلمي مختلف ) :

${\displaystyle \langle x|y\rangle$ :=\sum _{k=1}^{n}x_{k}.y_{k}}