خط مقارب

يقال أن الخط ${\displaystyle x=a}$ خط تقارب رأسي للدالة ${\displaystyle y=f(x)}$ إذا تحقق أحد الشرطين التاليين على الأقل:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty }$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty .}$

مثلاً، إذا كانت ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{x-1}}}$ فإن البسط يقترب من 1، والمقام يقترب من الصفر عندما تقترب x من 1. وبالتالي فإن

${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x}{x-1}}=\infty }$

ويكون للمنحنى خط تقارب عند ${\displaystyle x=1}$.

سواء كانت الدالة ${\displaystyle f(x)}$معرفة أو غير معرفة عند ${\displaystyle a}$، فإن قيمتها عند النقطة ${\displaystyle x=a}$لن تؤثر في خط التقارب، مثلاً الدالة:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\mbox{; }}x>0,\\5&{\mbox{; }}x\leq 0.\end{cases}}}$

لها نهاية ${\displaystyle \infty }$ عندما ${\displaystyle x\to 0^{+}}$، ومع ذلك فإن لها خط تقارب رأسي عند ${\displaystyle x=0}$، ذلك مع أن ${\displaystyle f(0)=5}$ مما يعني أن رسم الدالة يتقاطع مع خط التقارب الرأسي تقاطعًا وحيدًا عند النقطة (0,5)، ومن الجدير بالذكر أن رسم أي دالة لا يمكن أن يتقاطع مع محور تقارب رأسي في أكثر من نقطة واحدة.

قد يكون للدالة خطا تقارب أفقيان، كما هو الحال في حالة دالة الظل المثلثية العكسية ${\displaystyle y=\arctan(x)}$.

خطوط التقارب الأفقية هي خطوط أفقية يقترب منها رسم الدالة عندما ${\displaystyle x\to \infty }$، يقال أن الخط الأفقي ${\displaystyle y=c}$ هو خط تقارب أفقي للدالة ${\displaystyle y=f(x)}$إذا كانت

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c}$

أو

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=c}$

الدالة (ƒ(x، في الحالة الأولى، لها خط تقارب عند ${\displaystyle y=c}$عندما تؤول x إلى ${\displaystyle \infty }$ ، ولها خط تقارب، في الحالة الثانية، عند ${\displaystyle y=c}$عندما تئول x إلى ${\displaystyle -\infty }$ .

دالة الظل المثلثية العكسية (arctan)، على سبيل المثال، تحقق ما يلي

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\arctan(x)=-\pi /2}$

و

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)=\pi /2.}$

وبالتالي فإن الخط ${\displaystyle y=-\pi /2}$ هو خط تقارب أفقي لدالة الظل العكسية (أو بمعنى آخر مماس أفقي للدالة) عندما تئول x إلى ${\displaystyle -\infty }$ ، كما أن الخط ${\displaystyle y=\pi /2}$هو خط تقارب أفقي (مماس أفقي) للدالة عندما تئول x إلى ${\displaystyle \infty }$ .

من الممكن أن لا يكون هنالك خطوط تقارب أفقية لبعض الدوال في أحد الجانبين أو كليهما، أو من الممكن أن يكون لها نفس خط التقارب الأفقي في الجانبين، فمثلا الدالة ${\displaystyle f(x)=1/(x^{2}+1)}$ لها خط تقارب عند y = 0 عندما تئول x إلى ${\displaystyle -\infty }$ ، ذلك الخط عينه هو خط تقارب أفقي لنفس الدالة عندما تئول x إلى ${\displaystyle \infty }$ ؛ أي أن

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0.}$

الدالة ${\displaystyle f(x)=x+{\tfrac {1}{x}}}$ لها خطا تقارب وهما: محور الأراتيب (x = 0)، والخط y= x (باللون الأزرق).

إذا لم يكن خط التقارب المستقيم موازيًا لمحور الأفاصيل ولا عموديًا عليه فإنه يسمى خط تقارب مائل، ويقال حينئذ أن الدالة (ƒ(x تقاربية من الخط المستقيم y = mx + n (حيث m ≠ 0) إذا كانت

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0}$

أو

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0.}$

الخط y == mx + n، في الحالة الأولى، خط تقارب مائل للدالة (ƒ(x عندما تئول x إلى +∞، والخط y == mx + n، في الحالة الثانية، خط تقارب مائل للدالة (ƒ(x عندما x تئول إلى −∞.

مثلاً الدالة ƒ(x) = x−1/x لها خط تقارب مائل، هو الخط y = x أي أن (m = 1, n = 0) (انظر الرسم إلى اليسار). وبتطبيق النهاية المذكورة أعلاه

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }\left[{\frac {x^{2}-1}{x}}-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }\left[\left(x-{\frac {1}{x}}\right)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }-{\frac {1}{x}}=0.}$

مما يوضح أن الفرق بين الخط والدالة عند ${\displaystyle \infty }$ أو ${\displaystyle -\infty }$ يؤول إلى الصفر.

منحنى الدالة y = x² + 1/x ومنحنياته المقاربة: y = 1/x و x².

يكون منحنى الدالة ${\displaystyle y=g(x)}$ مقاربا لمنحنى الدالة${\displaystyle y=f(x)}$ عند ±∞ إذا تحقق ما يلي:

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)-g(x)=0}$

خط التقارب للدالة ${\displaystyle f(x)}$هو خط على الصورة y=mx+n، تحسب قيمة ${\displaystyle m}$ أولاً من العلاقة

${\displaystyle m{\stackrel {\text{def}}{=}}\lim _{x\rightarrow a}f(x)/x}$

حيث ${\displaystyle a}$ إما تساوي ${\displaystyle \infty }$ أو تساوي ${\displaystyle -\infty }$ بحسب الحالة، ويفضل التعامل مع كل حالة على حداها. إذا كانت النهاية غير موجود فهذا يعني عدم وجود خط تقارب مائل بهذا الاتجاه.

بعد ذلك يمكن تحديد قيمة n حيث

${\displaystyle n{\stackrel {\text{def}}{=}}\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-mx)}$

حيث أن a ينبغي أن تكون ذات القيمة المستخدمة من قبل. إذا لم تكن النهاية موجودة فإن هذا يعني أنه لا يوجد خط تقارب للدالة في هذا الاتجاه، حتى لو كانت النهاية الخاصة بتعريف قيمة m موجودة، أما إذا كانت موجودة فإن y = mx + n يكون خط تقارب مائل للدالة (ƒ(x عندما تئول x إلى a.

على سيل المثال، تعين قيمة m وn للدالة ƒ(x) = (2x² + 3x + 1)/x كالتالي

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2}$

ومنها

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3}$

وبالتالي فإن ${\displaystyle y=2x+3}$هو خط التقارب للدالة (ƒ(x عندما تؤول x إلى ${\displaystyle \infty }$ ، إذا نظرنا للدالة ${\displaystyle f(x)=\ln x}$ كمثال آخر فإن

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$

ومنها

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x}$

وهذه نهاية غير موجودة؛ أي أن الدالة ${\displaystyle y=\ln x}$ليس لها خط تقارب عندما تؤول x إلى ${\displaystyle \infty }$ .

أي دالة كسرية لها، على الأكثر، خط تقارب أفقي وحيد أو خط تقارب مائل، وقد يكون لها عدة خطوط تقارب رأسية.

تحدد درجة البسط ودرجة المقام إذا ما كانت هنالك خطوط تقارب رأسية أو أفقية أم لا، الجدول التالي يوضح الحالات المحتملة، مع مراعاة أن المقصود بدرجة البسط هو أعلى أس في كثيرة الحدود الموجودة بالبسط، ودرجة المقام هو أعلى أس في كثيرة الحدود الموجودة بالمقام.

جدول يوضح حالات خطوط التقارب الأفقية والمائلة للدوال الكسرية

درجة البسط − درجة المقام	خطوط التقارب	مثال	خط التقارب للمثال
أصغر من 0	y = 0	${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}$	${\displaystyle y=0}$
يساوي 0	y = النسبة بين معامل الحد الأعلى درجة في البسط إلى نظيره في المقام	${\displaystyle {\frac {2x^{2}+7}{3x^{2}+x+12}}}$	${\displaystyle y={\frac {2}{3}}}$
يساوي 1	y = خارج القسمة المطولة للكسر	${\displaystyle {\frac {x^{2}+x+1}{x}}}$	${\displaystyle y=x+1}$
أكبر من 1	لا يوجد	${\displaystyle {\frac {2x^{4}}{3x^{2}+1}}}$	لا يوجد