عدد مركب

بيان للمستوى العقدي. الجزء الحقيقي لعدد مركب z = x + iy هو x, وجزءه التخيلي هو y.

عدد مركب هو عدد يُكتب على الشكل التالي :

${\displaystyle a+bi,\ }$

حيث a و b عددان حقيقيان و i هي الوحدة التخيلية, وتحقق i² = −1. على سبيل المثال، ${\displaystyle -3.5+2i\ }$ هو عدد عقدي. عادة، يُشار إلى العدد العقدي ${\displaystyle a+0i\ }$ ب a وإلى العدد العقدي ${\displaystyle 0+bi\ }$ ب ${\displaystyle bi\ }$. بالإضافة إلى ذلك، عندما يكون الجزء التخيلي سالبا، يكتب العدد العقدي على شكل ${\displaystyle a-bi\ }$ حيث b موجب بدلا من ${\displaystyle a+(-b)i\ }$. على سبيل المثال، يُكتب ${\displaystyle 3-4i\ }$ بدلا من ${\displaystyle 3+(-4)i\ }$.

رمز مجموعة الأعداد العقدية هو ${\displaystyle \mathbf {C} }$ أو ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

العدد الحقيقي a الذي يظهر في تعريف العدد العقدي z = a+ bi يسمى الجزء الحقيقي ل z، بينما يسمى b الجزء التخيلي ل z. هكذا، الجزء التخيلي لعدد عقدي ما، هو عدد حقيقي (لا يتضمن الوحدة التخيلية) : الجزء التخيلي ل z هو b وليس bi. يُرمز للجزء الحقيقي ب (Re(z أو (ℜ(z, ويُرمز إلى الجزء التخيلي ب (Im(z أو (ℑ(z. على سبيل المثال،,

${\displaystyle \operatorname {Re} (-3.5+2i)=-3.5,\ }$

${\displaystyle \operatorname {Im} (-3.5+2i)=2.\ }$

أحيانـًا، يُكتب العدد المركب z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، وذلك باستخدام الرمز "j" بدلا من "i"، لأن "i" هو رمز التيار الكهربي)

رُسم عدد عقدي على شكل نقطة (باللون الأحمر) وعلى شكل متجهة (باللون الأزرق) في رسم أرغند البياني; ${\displaystyle a+bi}$ التعبير المستطيلي للنقطة.

يمكن أن يُنظر إلى عدد عقدي على أنه نقطة أو متجه ينطلق من أصل المَعلم في نظام إحداثيات ديكارتي ثنائي الأبعاد يسمى المستوى العقدي أو رسم أرغند البياني, المسمى هكذا نسبة إلى جون روبرت أرغند. عادة ما يُرسم الجزء الحقيقي لعدد عقدي على المحور الأفقي بينما يُرسم جزؤه التخيلي على المحور العمودي.

أول إشارة سريعة إلى الجذور المربعة للأعداد السالبة قد تعود إلى أعمال عالم الرياضيات الإغريقي هيرو السكندري، الذي عاش في القرن الأول بعد الميلاد.

يرجع أول ظهور للأعداد المركبة إلى عام 1545 حينما نشر عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو حلحلة للمعادلات من الدرجة الثالثة.

ولكنه فهمه لهذه الأعداد كان بدائيا. فيما بعد عمل عالم الرياضيات رافائيل بومبيلي في هذا المجال.

في عام 1748، ذهب ليونهارت أويلر إلى أبعد من ذلك مطورا لصيغة أويلر في التحليل العقدي:

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$

فيما بعد، عمل على هذا الموضوع كل من ريتشارد ديدكايند وأوتو هولدر وفيليكس كلاين وهنري بوانكاريه وهيرمان شفارز وكارل فايرشتراس وآخرون.

انظر إلى المبرهنة الأساسية في الجبر.

الجذور المكعبة الثلاثة ل 1-، اثنان منها أعداد مركبة

مرافق العدد المركب ${\displaystyle x+yi\,}$ هو العدد المركب ${\displaystyle x-yi\,}$. يُرمز لمرافق العدد المركب ${\displaystyle z}$ بالرمز ${\displaystyle {\bar {z}}}$. هندسيا، ${\displaystyle {\bar {z}}}$ هو انعكاس ${\displaystyle z}$ حول محور الأعداد الحقيقية. هكذا محاولة الحصول على مرافق مرافق عدد مركب ما تعطي العدد ذاته : ${\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}$.

يمكن أن يستخلص الجزءان الحقيقي والتخيلي انطلاقا من مرافق عدد مركب ما، كما تبين المعادلتان التاليتان :

${\displaystyle \operatorname {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}(z+{\bar {z}})\,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2i}}(z-{\bar {z}}).\,}$

بالإضافة إلى ذلك، فإن عددا مركبا ما حقيقيٌ إذا وفقط إذا كان مساويا لمرافقه.

البحث عن المرافق يتوزع على العمليات الحسابية الاعتيادية كما تبين المعادلات التالية:

• ${\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}\,}$ أي أن مرافق مجموع عددين مركبين هو مجموع مرافق كل من حدي المجموع.
• ${\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}\,}$ أي أن مرافق حاصل ضرب عددين مركبين هو حاصل ضرب المرافقين لهذين العددين.
• ${\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}\,}$ أي أن مرافق حاصل قسمة عددين مركبين هو حاصل قسمة المرافقين لهذين العددين.

مقلوب عدد مركب ما مختلف عن الصفر ${\displaystyle z=x+yi\,}$، هو :

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}.}$

لاحظ أن ناتج عملية القسمة السابقة نحصل عليه بضرب كلا من البسط والمقام في العدد المرافق للمقام.

الجذر التربيعي لحاصل ضرب عدد مركب في مرافقه يسمى معيار العدد المركب.

يمكن أن يُجمع عددان مركبان بطريقة هندسية وذلك بإنشاء متواز للأضلاع.

تتم عملية الجمع كما يلي: ${\displaystyle (a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i\,}$

وكذلك عملية الطرح كما يلي: ${\displaystyle (a+bi)-(a'+b'i)=(a-a')+(b-b')i\,}$

يلاحظ أن الجزء الحقيقي للناتج هو محصلة الجزئين الحقيقيين للعددين، وبالمثل الجزء التخيلي للناتج هو محصلة الجزئين التخيليين للعددين.

تتم عملية الضرب كما يلي:

${\displaystyle (a+bi)(a'+b'i)=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i\,}$

تتم عملية القسمة كما يلي:

بضرب البسط والمقام بمرافق المقام.[2]

${\displaystyle {\frac {a+bi}{a'+b'i}}={\frac {(aa'+bb')+i(a'b-ab')}{a'^{2}+b'^{2}}}\,}$

انظر أيضا الجذر التربيعي للأعداد السالبة وللأعداد العقدية

الجذران التربيعيان للعدد العقدي a + bi (مع b ≠ 0) هما ${\displaystyle \pm (\gamma +\delta i)}$ حيث :

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

و

${\displaystyle \delta =\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

حيث sgn هي دالة الإشارة.

يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل:

${\displaystyle \,z=a+bi}$

الشكل الجبري للأعداد المركبة هو ${\displaystyle z=a+bi}$ لذا فكل عدد مركب هو زوج مرتب ${\displaystyle (a,b)}$ في محور الأعداد، وكل زوج كهذا يمكن حساب إحداثياته بواسطة الزاوية المتكونة من التقاء محور ${\displaystyle x}$ مع الخط المستقيم الخارج من نقطة الأصل ويمر في الزوج ${\displaystyle (a,b)}$, وأيضا بواسطة طول الخط المحصور بين ${\displaystyle (a,b)}$ و- ${\displaystyle (0,0)}$. هذه الإمكانية تسمح بصياغة العدد المركب بالشكل التالي :

${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta ),}$

حيث:

${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\,tan^{-1}({\frac {b}{a}})}$

يكتب العدد على شكل

${\displaystyle \,z=|z|.e^{i\theta }}$

حيث:

${\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\,tan^{-1}(b/a)}$

ليكن a₀, …, a_n أعدادا مركبة (تسمى معاملات). للمعادلة

${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$

حل واحد على الأقل z، إذا افتُرض أنه على الأقل أحد الأعداد ذات الدرجات الأعلى، a₁, …, a_n غير مساو للصفر. هذا هو نص المبرهنة الأساسية في الجبر. لهذا السبب، يُقال عن المجموعة C أنها حقل مغلق جبريا. هذه الخاصية ليست متوفرة في حقل الأعداد الجذرية Q (ليس لمتعددة الحدود x² − 2من جذر كسري بما أن حلها هو √2 و هو عدد غير كسري). مجموعة الأعداد الحقيقية R لا تمتلك هي أيضا هذه الخاصية (ليس لمتعددة الحدود x² + aمن جذر حقيقي عندما يكون a موجبا قطعا).

انظر إلى مبرهنة ليوفيل وإلى طوبولوجيا وإلى نظرية غالوا وإلى مصفوفة مربعة وإلى القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.

يقال عن دالة f : C → C أنها دالة تامة الشكل إذا حققت معادلات كوشي-ريمان. على سبيل المثال، كل تحويل خطي C → C يكتب على الشكل :

${\displaystyle f(z)=az+b{\overline {z}}}$

حيث a و b عددان عقديان. يكون هذا التحويل كامل الشكل إذا وفقط إذا كان b مساويا للصفر.

نظرية التحكم

انظر إلى جريان الموائع.

تستعمل الأعداد المركبة في معالجة الإشارة.

عد من الكسيريات يرسم في المستوى العقدي. على سبيل المثال مجموعة ماندلبرو ومجموعات جوليا.

انظر إلى مبرهنة ماردن وإلى دالة تكعيبية.

إنشاء متعدد منتظم للأضلاع باستعمال الفرجار والمسطرة.

لكل معادلة حدودية غير ثابتة وذات معاملات مركبة، كما سبق ذكر ذلك، حل في C. هذه المسألة تبقى صحيحة حتى إذا كانت هؤلاء المعاملات أعدادا كسرية. جذور هذه المعادلات تسمى أعداد جبرية. تشكل الأعداد الجبرية موضوع دراسة أساسي في النظرية الجبرية للأعداد.

انظر إلى حقل (رياضيات) وإلى حقل الأعداد الجبرية وإلى جذور الوحدة (تحليل عقدي) وإلى تساعي (مضلع) وإلى إنشاءات الفرجار والمسطرة وإلى عدد طبيعي غاوسي وإلى مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين.

تدرس نظرية الأعداد التحليلية الأعداد الطبيعية والجذرية، مستغلة كونها قابلة للتمثيل على شكل أعداد عقدية. على سبيل المثال، ترتبط دالة زيتا لريمان ζ(s) بتوزيع الأعداد الأولية.