معيار المصفوفة

في ما يلي: الرمز ${\displaystyle K}$ سيعبر عن مجال الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة. نفرض أن ${\displaystyle K^{m\times n}}$ يمثل الفضاء المتجهي الذي يحتوي كل المصفوفات ذات ${\displaystyle m}$ صف و${\displaystyle n}$ عمود ذات مدخلات تنتمي للمجال ${\displaystyle K}$، أيضًا ${\displaystyle A^{*}}$ هي مصفوفة تمثل مرافق المصفوفة ${\displaystyle A}$.

معيار المصفوفة هو معيار متجه ينتمي إلى ${\displaystyle K^{m\times n}}$ بحيث إذا كانت ${\displaystyle \|A\|}$ تمثل معيار المصفوفة ${\displaystyle A}$ فإن:

• ${\displaystyle \|A\|\geq 0}$
• ${\displaystyle \|A\|=0}$ إذا كان ${\displaystyle A=0}$
• ${\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|}$ لكل ${\displaystyle \alpha }$ في ${\displaystyle K}$ لكل المصفوفات ${\displaystyle A}$ تنتمي إلى ${\displaystyle K^{m\times n}}$
• ${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|}$ لكل المصفوفات ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$ في ${\displaystyle K^{m\times n}}$

بالإضافة إلى ذلك، فإنه في حالة المصفوفة المربعة m = n فإن بعض (وليس الكل) المصفوفات تحقق التالي:

• ${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}$ لكل المصفوفات ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$ في ${\displaystyle K^{n\times n}}$

إذا كان معيار المتجه في ${\displaystyle K^{n}}$ و${\displaystyle K^{m}}$ معطي (حيث ${\displaystyle K}$ هو مجال الأعداد الطبيعية والمركبة) فإنه يمكن تعريف معيار العامل الرياضي المكافئ كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}\end{aligned}}}$

ويكون معيار العامل الرياضي المكافئ للمعيار p في المتجهات (ويرمز له ب ${\displaystyle \|A\|_{p}}$) كما يلي:

${\displaystyle \|A\|_{p}=\sup \limits _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}}$

حيث p ≥ 1

هناك 3 الحالات الخاصة عند ∞,p = 1,2, ، يمكن حساب قيم المعيار كما يلي:

• ${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|}$ وهو ببساطة أقصي مجموع مطلق لعمود من أعمدة المصفوفة
• ${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|}$ وهو ببساطة أقصى مجموع مطلق لصف من صفوف المصفوفة
• ${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}}$ هذه العلاقة صحيحة بشرط أن تكون المصفوفة ${\displaystyle A}$ من الدرجة -1 أو صفرية.

مثال:

• إذا كانت المصفوفة ${\displaystyle A}$ معطاة كالتالي

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\\end{bmatrix}},}$

فإن

${\displaystyle \|A\|_{1}=\max(|{-3}|+2+0,5+6+2,7+4+8)=\max(5,13,19)=19}$

و

${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max(|{-3}|+5+7,2+6+4,0+2+8)=\max(15,12,10)=15.}$

عند p = 2 فإن المعيار يسمي المعيار الإكليدي (بالإنجليزية: Euclidean norm)‏ وفي هذه الحالة يساوي أكبر قيمة فردية ويساوي أيضًا الجذر التربيعي للقيمة الذاتية للمصفوفة المعرفة الموجبةA^∗A :

${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\max }(A^{^{*}}A)}}=\sigma _{\max }(A)}$[1]

حيث A^∗ تمثل مرافق المصفوفة A.

• بوابة رياضيات