دالة زيتا لريمان

مقال برنارد ريمان حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما.

دالة زيتا لريمان (ζ (s هي دالة متغيرها عدد عقدي s=σ+it (في هذا الإطار، s و σ هما الرمزان اللذان يستعملان عادة من أجل دراسة الدالة ζ). المتسلسلة غير المنتهية التالية تتقارب عندما يكون الجزء الحقيقي للعدد s أكبر قطعا من الواحد. حينئذ تعرف هاته المتسلسلة الدالة (ζ(s.

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \;\;\;\;\;\;\;\sigma ={\mathfrak {R}}(s)>1.\!}$

دالة زيتا لريمان معرفة امتدادا تحليليا للدالة المعرفة بالمتسلسلة السابقة الذكر عندما يكون σ> 1.

درس ليونهارد أويلر هاته المتسلسلة في عام 1740 بالنسبة للأعداد الطبيعية قيما للعدد s، وبعد ذلك مدد تشيبيشيف الدراسة إلى جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من الواحد s> 1.

المتسلسلة أعلاه هي نموذج لمتسلسلة دركليه يتقارب مطلقا نحو دالة تحليلية بالنسبة إلى s حين يكون σ> 1 ويتباعد بالنسبة لجميع القيم الأخرى ل s. برهن ريمان أن الدالة المعرفة على نصف المستوى حيث المتسلسلة أعلاه تتقارب، يمكن أن تُمدد تحليليا إلى جميع قيم s المخلفة عن الواحد. حين يكون s مساويا للواحد (s = 1)، تصير المتساوية المعرفة أعلاه المتسلسلة المتناسقة وهي متسلسلة تتباعد نحو +∞ و:

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1.}$

هكذا، دالة زيتا لريمان هي دالة جزئية الشكل على المستوى العقدي كله، أي بمعنى أنها دالة تامة الشكل في المستوى العقدي كله باستثناء القطب البسيط عند 1 بباق مساوي ل1.

دالة زيتا لريمان عندما يكون s حقيقيا ويكون أكبر قطعا من الواحد

الصيغة التالية تنسب إلى أويلر وهي تعطي قيمة (ζ(2k للأعداد الزوجية:

${\displaystyle \zeta (2k)={\frac {(-1)^{k-1}B_{2k}(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}}$

حيث B_2k هي أعداد بيرنولي. لا توجد صيغة لحساب زيتا بالنسبة للأعداد الفردية. أما بالنسبة إلى الأعداد السالبة فيتوفر ما يلي:

${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

حين يكون n ≥ 1. هذا يؤدي إلى انعدام دالة زيتا لريمان بالنسبة لجميع الأعداد الزوجية السالبة لأن B_m = 0 مهما كان m فرديا ومختلفا عن الواحد.

هذه بعض القيم:

${\displaystyle \zeta (0)=-{\frac {1}{2}}\!}$

${\displaystyle \zeta (1/2)\approx -1.4603545\!}$ تستعمل في الفيزياء،

${\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty$ ;\!} هي المتسلسلة المتناسقة.

${\displaystyle \zeta (3/2)\approx 2.612;\!}$   تستعمل في الفيزياء،

${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.645;\!}$ يعرف برهان هاته المتساوية بمعضلة بازل. مقلوب هذا المجموع (أي:${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}};\!}$) هو جواب السؤال التالي: ما احتمال أن يكون عددان طبيعيان، اختيرا عشوائيا، أوليين فيما بينهما ؟

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1.2020569;\!}$: تسمى ثابتة أبيري.

${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1.0823;\!}$ تستعمل في الفيزياء.

ζ(6) = π⁶/945

ζ(8) = π⁸/9450

اكتشفت العلاقة بين دالة زيتا والأعداد الأولية من طرف عالم الرياضيات ليونهارد أويلر الذي برهن على المتطابقة التالية (prime تعني عددا أوليا):

جداء أويلر.

دالة زيتا لريمان تحقق المعادلة الدالية التالية (والتي قد تسمى أيضا معادلة ريمان الدالية):

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,}$

حيث (Γ(s هي دالة غاما، وهي متساوية لدوال جزئية الشكل، صالحة في المستوى العقدي كله. هذه المعادلة تربط قيمة زيتا لريمان عند النقطة s بقيمتها عند النقطة ${\displaystyle 1-s}$. المعادلة الدالية (بسبب خصائص دالة الجيب) تعني أن (ζ(s لها جذورا بسيطة عند كل عدد صحيح زوجي سالب s = -2n. تُعرف هاته الأعداد بالجذور البديهية للدالة (ζ(s.

أُقيمت هاته المعادلة من طرف ريمان عام 1859 في مقاله حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما، كما استعملها في إنشاء الامتداد التحليلي في أول الأمر. علاقة مكافئة لهاته المعادلة حُدست من طرف أويلر أكثر من قرن من الزمان من ذلك، في عام 1749، تتعلق بدالة إيتا لدركليه (دالة زيتا المتناوبة)

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}=(1-{2^{1-s}})\zeta (s).}$

تستخدم دالة زيتا في العديد من الميادين مثل الإحصاء التطبيقي (طالع قانون زيف) ونظرية الحقل الكمومي وتحليل النظام التحريكي.

هناك عدد من الدوال الزائية التي يمكن أن تعتبر تعميمات لدالة زيتا لريمان. منها دالة زيتا لهورفيتز المعرفة كما يلي:

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+q)^{s}}}}$

إذا كانت حدسية ميرتنز صحيحة، فإن فرضية ريمان صحيحة وأنه لا يوجد أي جذر غير بسيط لدالة زيتا (أي أنه لا يوجد أي جذر ذي درجة تساوي أو تفوق 2).

و لكنه رغم أن حدسية ميرتنز خاطئة، فإنه لا يزال يعتقد أن فرضية ريمان صحيحة وأن جذور دالة زيتا بسيطة (أي أن درجات هاته الجذور لا تساوي ولا تفوق 2)

• بوابة الفيزياء
• بوابة تحليل رياضي
• بوابة نظرية الأعداد
• بوابة رياضيات