معادلات كوشي-ريمان

في الرياضيات، معادلات كوشي-ريمان التفاضلية (بالإنجليزية: Cauchy–Riemann equations)‏ في التحليل العقدي تنسب إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي وعالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان.[1][2][3] تتكون من نظام من اثنين من المعادلات التفاضيلية الجزئية

معادلات كوشي-ريمان لدالتين قيمهما حقيقيتان، لكل واحدة منهما متغيران اثنان (u(x,y و (v(x,y، هما المعادلتان التاليتان:

${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\,}$

و

${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\,}$

عادة ما يتم اعتبار u وv جزءًا حقيقيًا وخياليًا على التوالي لدالة مركبة القيمة لمتغير مركب واحد ${\displaystyle z=x+iy,f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$

افترض ان u وv دوال قابلة للاشتقاق عند نقطة في مجموعة جزئية مفتوحة من ${\displaystyle \mathbb {C} }$, والتي ممكن اعتبارها دالة من ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$ إلى ${\displaystyle \mathbb {R} }$، فإن هذا يؤدي إلى أن المشتقة الجزئية ل u , v موجودة (على الرغم من انها لا تحتاج ان تكون متصلة).

إذا كانت الدالة ${\displaystyle f=u+iv}$ قابلة للاشتقاق عند النقطة ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$، فإن المشتقات الجزئية لكلا من u و v موجودة عند النقطة ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ وتحقق معادلات كوشي -ريمان.