جذور الوحدة (رياضيات)

جذر الوحدة من الدرجة n (أو جذر الوحدة النوني) حيث n هو عدد صحيح موجب (أي أن n = 1، 2، 3، …) هو عدد مركب z يحقق المعادلة التالية:

${\displaystyle z^{n}=1.}$

${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad \quad k=0,1,\dots ,n-1.}$

يقال عن جذر وحدة نوني أنه أولي أو بدائي، إذا استحال ايجاد عدد صحيح k أصغر قطعا من n حيث :

${\displaystyle z^{k}\neq 1\qquad (k=1,2,3,\dots ,n-1).}$

إذا كان n عددا أوليا، فإن جميع جذور الوحدة من الدرجة n باستثناء الواحد هي بدائية.

الجذور من الدرجة الثالثة للوحدة

رسم بياني يمثل الدالة z³ − 1, حيث الصفر ممثل باللون الأسود.

رسم بياني يمثل الدالة z⁵ − 1, حيث الصفر ممثل باللون الأسود.

تنص صيغة دي موافر على ما يلي أيا كانت قيمة x عددا حقيقيا وقيمة n عددا صحيحا:

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

انظر إلى مضلع منتظم وإلى دائرة وحدة وإلى صيغة أويلر.

• زمرة الدائرة
• حرف دركليه
• مجموع رامانجن

• بوابة رياضيات