نسبة ذهبية

المئذنة كما تُرى من باحة الجامع الكبير بالقيروان

كشف تحليل هندسي أجري عام 2004 لبحث سابق في الجامع الكبير بالقيروان (670) عن تطبيق النسبة الذهبية في كثير من التصميم. [30] ووجدوا نسبًا قريبة من النسبة الذهبية في الشكل العام وفي أبعاد مكان الصلاة والفناء والمئذنة . ومع ذلك، فإن المناطق ذات النسب القريبة من النسبة الذهبية لم تكن جزءًا من الخطة الأصلية، ومن المحتمل أنها تمت إضافتها في إعادة الإعمار. [30]

تم التكهن باستخدام النسبة الذهبية من قبل مصممي ساحة نقش جهان (1629) ومسجد لطف الله المجاور. [31]

ركز المهندس المعماري السويسري لو كوربوزييه، المشهور بإسهاماته في الأسلوب الدولي الحديث، فلسفته في التصميم على أنظمة التناغم والتناسب. ارتبط إيمان لو كوربوزييه بالترتيب الرياضي للكون ارتباطًا وثيقًا بالنسبة الذهبية وسلسلة فيبوناتشي، التي وصفها بأنها "إيقاعات واضحة للعين وواضحة في علاقاتها مع بعضها البعض. وهذه الإيقاعات هي أصل الأنشطة البشرية. إنهم يترددون في الإنسان بحتمية عضوية، نفس الحتمية الدقيقة التي تسبب اقتفاء أثر القسم الذهبي من قبل الأطفال والشيوخ والمتوحشين والمتعلمين. " [32] [33]

استخدم لو كوربوزييه صراحة النسبة الذهبية في نظام المودولور الخاص به لمقياس النسبة المعمارية . لقد رأى هذا النظام باعتباره استمرارًا للتقليد الطويل لفيتروفيوس، و " فيتروفيان مان " لليوناردو دافنشي، وعمل ليون باتيستا ألبيرتي، وغيرهم ممن استخدموا نسب جسم الإنسان لتحسين مظهر ووظيفة العمارة .

بالإضافة إلى النسبة الذهبية، بنى لو كوربوزييه النظام على القياسات البشرية وأرقام فيبوناتشي والوحدة المزدوجة. لقد أخذ اقتراح النسبة الذهبية في النسب البشرية إلى أقصى الحدود: لقد قسّم نموذجه لجسم الإنسان عند السرة مع قسمين في نسبة ذهبية، ثم قسّم هذه المقاطع بنسبة ذهبية عند الركبتين والحلق ؛ استخدم نسب النسبة الذهبية هذه في نظام المودولور. مثال على فيلا شتاين لو كوربوزييه عام 1927 في Garches تطبيق نظام المودولور. المخطط الأرضي المستطيل للفيلا والارتفاع والبنية الداخلية قريبة من المستطيلات الذهبية. [34]

أسس مهندس معماري سويسري آخر، ماريو بوتا، العديد من تصميماته على أشكال هندسية. تتكون العديد من المنازل الخاصة التي صممها في سويسرا من مربعات ودوائر ومكعبات وأسطوانات. في المنزل الذي صممه في اوريجليو، النسبة الذهبية هي النسبة بين القسم المركزي والأقسام الجانبية للمنزل. [35]

رسم ليوناردو للعنصر ثنائي الوجوه من Pacioli 's Divina ratioe (1509)

تم نشر Divina نسبة ( النسبة الإلهية )، وهو عمل مكون من ثلاثة مجلدات بواسطة لوكا باتشولي، في عام 1509. كان الراهب الفرنسيسكاني باسيولي معروفًا في الغالب بكونه عالم رياضيات، لكنه أيضًا كان مدربًا ومهتمًا للغاية بالفن. استكشفت Divina ratioe رياضيات النسبة الذهبية. على الرغم من أنه كثيرًا ما يُقال إن باسيولي دعا إلى تطبيق النسبة الذهبية لإعطاء نسب متناغمة ومرضية، إلا أن ليفيو يشير إلى أن التفسير قد تم تتبعه إلى خطأ في عام 1799، وأن باسيولي قد دافع بالفعل عن نظام فيتروفيان للنسب العقلانية. [3] رأى باسيولي أيضًا أهمية دينية كاثوليكية في النسبة، مما أدى إلى عنوان عمله.

أدت الرسوم التوضيحية لليوناردو دافنشي عن متعدد السطوح في Divina ratioe [36] إلى التكهن بأنه قد أدرج النسبة الذهبية في لوحاته. لكن الإيحاء بأن لوحة الموناليزا الخاصة به، على سبيل المثال، تستخدم نسب النسبة الذهبية، لا تدعمها كتابات ليوناردو. [37] وبالمثل، على الرغم من أن الرجل فيتروفيان يظهر غالبًا فيما يتعلق بالنسبة الذهبية، إلا أن نسب الشكل لا تتطابق معها في الواقع، ويذكر النص فقط نسب الأعداد الصحيحة. [38] [39]

استخدم سلفادور دالي، متأثرًا بأعمال ماتيلا غيكا، [40] بوضوح النسبة الذهبية في تحفته، سر العشاء الأخير. أبعاد اللوحة عبارة عن مستطيل ذهبي. يتدلى من اثنا عشر وجهًا ضخمًا، في المنظور بحيث تظهر الحواف بنسبة ذهبية لبعضها البعض، فوق وخلف يسوع ويسيطر على التكوين. [37] [41]

وجدت دراسة إحصائية أجريت عام 1999 على 565 عملاً فنياً لرسامين عظماء مختلفين أن هؤلاء الفنانين لم يستخدموا النسبة الذهبية في حجم لوحاتهم. وخلصت الدراسة إلى أن متوسط نسبة جانبي اللوحات المدروسة 1.34 بمتوسطات للفنانين الفرديين تتراوح من 1.04 (جويا) إلى 1.46 (بيليني). [42] من ناحية أخرى، أدرج Pablo Tosto أكثر من 350 عملاً لفنانين مشهورين، بما في ذلك أكثر من 100 من اللوحات ذات المستطيل الذهبي ونسب الجذر 5، وأخرى بنسب مثل root-2 و 3 و 4 و 6. [43]

تصوير النسب في مخطوطة من العصور الوسطى. وفقًا لـ Jan Tschichold : "نسبة الصفحة 2: 3. نسب الهامش 1: 1: 2: 3. تتناسب منطقة النص في القسم الذهبي ". [44]

وفقًا لـ جان تشيتشولد، كان هناك وقت كانت فيه الانحرافات عن نسب الصفحات الجميلة حقًا 2: 3، 1: 3، والقسم الذهبي كانت نادرة. تظهر العديد من الكتب التي تم إنتاجها بين عامي 1550 و 1770 هذه النسب بالضبط، في حدود نصف ملليمتر. [45]

ووفقًا لبعض المصادر، يتم استخدام النسبة الذهبية في التصميم اليومي، على سبيل المثال في نسب أوراق اللعب، والبطاقات البريدية، والملصقات، ولوحات الإضاءة، وأجهزة التلفزيون ذات الشاشة العريضة. [46] [47] [48] [49]

يحلل ارني ليندفاي أعمال Béla Bartók على أنها تستند إلى نظامين متعارضين، نظام النسبة الذهبية والمقياس الصوتي، [50] الرغم من رفض علماء الموسيقى الآخرين لهذا التحليل. [3] استخدم الملحن الفرنسي إريك ساتي النسبة الذهبية في العديد من مقطوعاته، بما في ذلك Sonneries de la Rose + Croix . تظهر النسبة الذهبية أيضًا في تنظيم المقاطع في موسيقى Reflets dans l'eau (انعكاسات في الماء) لديبوسي، من الصور (السلسلة الأولى، 1905)، حيث "يتم تمييز تسلسل المفاتيح بواسطة الفترات 34 و 21 و 13 و 8، والذروة الرئيسية تجلس في موقع فاي ". [51]

لاحظ عالم الموسيقى روي هوات أن الحدود الرسمية لـ لا مير (ديبوسي) تتوافق تمامًا مع القسم الذهبي. [52] يجد Trezise أن الدليل الجوهري "رائع"، لكنه يحذر من أنه لا يوجد دليل مكتوب أو معلن يشير إلى أن ديبوسي سعى بوعي إلى مثل هذه النسب. [53]

تضع براميل اللؤلؤ فتحات التهوية في طرازات Masters Premium بناءً على النسبة الذهبية. تدعي الشركة أن هذا الترتيب يحسن استجابة الجهير وقد تقدمت بطلب للحصول على براءة اختراع لهذا الابتكار. [54]

على الرغم من أن هاينز بوهلين اقترح مقياس 833 سنتًا غير مكرر للأوكتاف استنادًا إلى النغمات المركبة، فإن الضبط يتميز بالعلاقات القائمة على النسبة الذهبية. كفترة موسيقية، النسبة 1.618 ... هي 833.090 ... سنتًا (  Play</img>  Play). [55]

تفاصيل نبات الصحن، Aeonium tabuliforme، يُظهر الترتيب اللولبي المتعدد ( parastichy )

كتب يوهانس كيبلر أن "صورة الرجل والمرأة تنبع من النسبة الإلهية. في رأيي، تكاثر النباتات والأفعال التكاثرية للحيوانات في نفس النسبة". [3]

لاحظ عالم النفس أدولف زيزينج أن النسبة الذهبية ظهرت في phyllotaxis وجادل من هذه الأنماط في الطبيعة أن النسبة الذهبية هي قانون عالمي. [56] [57] كتب زيزينج في عام 1854 عن قانون تقويم العظام الشامل " للسعي من أجل الجمال والاكتمال في مجالات الطبيعة والفن". [58]

في عام 2010، ذكرت مجلة Science أن النسبة الذهبية موجودة على المقياس الذري في الرنين المغناطيسي للسبينات في بلورات الكوبالت النيوبيتية. [59]

ومع ذلك، فقد جادل البعض بأن العديد من المظاهر الواضحة للنسبة الذهبية في الطبيعة، خاصة فيما يتعلق بأبعاد الحيوانات، وهمية. [60]

النسبة الذهبية هي مفتاح البحث في golden-section (المقطع الذهبي) .

النسبة الذهبية هي رقم غير نسبي. فيما يلي دليلان قصيران على اللاعقلانية:

إذا كانت φ العقلاني، فإنه سيكون من نسبة جانبي مستطيل مع الجانبين صحيح (المستطيل يضم المخطط بأكمله). لكنها ستكون أيضًا نسبة جوانب عدد صحيح للمستطيل الأصغر (الجزء الأيمن من الرسم التخطيطي) يتم الحصول عليها بحذف مربع. تسلسل تناقص أطوال أضلاع الأعداد الصحيحة المتكونة من حذف المربعات لا يمكن أن يستمر إلى ما لا نهاية لأن الأعداد الصحيحة لها حد أدنى، لذلك لا يمكن أن تكون φ منطقية.

تذكر أن:

الكل هو الجزء الأطول بالإضافة إلى الجزء الأقصر ؛

الكل هو الجزء الأطول حيث أن الجزء الأطول هو الجزء الأقصر.

إذا استدعينا n بالكامل والجزء الأطول m، فإن العبارة الثانية أعلاه تصبح

n هو m كما m هو n − m

أو جبريًا

${\displaystyle {\frac {n}{m}}={\frac {m}{n-m}}.\qquad (*)}$

إن القول بأن النسبة الذهبية φ منطقية يعني أن φ كسر n / m حيث n و m عددان صحيحان. قد نأخذ n / m في أدنى حد و n و m موجبين. ولكن إذا كانت n / m بأدنى حد، فإن الهوية المسمى (*) أعلاه تقول m / ( n - م ) بعبارات أقل. هذا تناقض يتبع من افتراض أن φ عقلاني.

بواسطة اللاعقلانية √5

دليل قصير آخر - ربما يكون أكثر شيوعًا - على لاعقلانية النسبة الذهبية يستخدم إغلاق الأعداد المنطقية تحت عمليات الجمع والضرب. إذا ${\displaystyle \textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ عقلاني، إذن ${\displaystyle \textstyle 2\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)-1={\sqrt {5}}}$ هو أيضًا عقلاني، وهو تناقض إذا كان معروفًا بالفعل أن الجذر التربيعي لعدد طبيعي غير مربع هو غير منطقي.

النسبة الذهبية هي أيضًا رقم جبري وحتى عدد صحيح جبري، حيث لديها الحد الأدنى متعدد الحدود (نظرية المجال)

${\displaystyle x^{2}-x-1.}$

بالحصول على الدرجة 2، فإن كثير الحدود هذا له في الواقع جذران، والآخر هو اقتران النسبة الذهبية.

الجذر المترافق مع الحد الأدنى من كثير الحدود x ² - x - 1 هو

${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.61803\,39887\dots .}$

تتوافق القيمة المطلقة لهذه الكمية (≈ 0.618) مع نسبة الطول المأخوذة بترتيب عكسي (طول مقطع أقصر على طول مقطع أطول، ب / أ )، ويشار إليها أحيانًا باسم النسبة الذهبية المترافقة [19] أو نسبة الفضة . [arabic-abajed 5] [61] يُشار إليه هنا بالحرف Phi ( ${\displaystyle \Phi }$ ):

${\displaystyle \Phi ={1 \over \varphi }=\varphi ^{-1}=0.61803\,39887\ldots .}$

بدلا من ذلك، ${\displaystyle \Phi }$ يمكن التعبير عنها كـ

${\displaystyle \Phi =\varphi -1=1.61803\,39887\ldots -1=0.61803\,39887\ldots .}$

يوضح هذا الخاصية الفريدة للنسبة الذهبية بين الأرقام الموجبة، أي

${\displaystyle {1 \over \varphi }=\varphi -1,}$

أو معكوسه:

${\displaystyle {1 \over \Phi }=\Phi +1.}$

هذا يعني 0.61803 ...: 1 = 1: 1.61803. . . .

التقريب للنسبة الذهبية المتبادلة بواسطة كسور محدودة مستمرة، أو نسب أرقام فيبوناتشي

صيغة φ = 1 + 1 / φ يمكن توسيعها بشكل متكرر للحصول على جزء المستمر للالنسبة الذهبية: [62]

${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}$

ومتبادله:

${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}$

تقاربات هذه الكسور المستمرة (1/1، 2/1، 3/2، 5/3، 8/5، 13/8، ... أو 1/1، 1/2، 2/3، 3 / 5، 5/8، 8/13، ...) هي نسب لأرقام فيبوناتشي المتتالية.

φ المعادلة ² = 1 + φ تنتج أيضا من استمرار الجذر التربيعي :

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}.}$

يمكن اشتقاق سلسلة لا نهائية للتعبير عن φ : [63]

${\displaystyle \varphi ={\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!}{4^{2n+3}n!(n+2)!}}.}$ أيضا:

${\displaystyle \varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi ={1 \over 2}\csc(\pi /10)={1 \over 2}\csc 18^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi =2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.}$

تتوافق هذه مع حقيقة أن طول قطر الخماسي المنتظم يساوي φ ضعف طول ضلعها، وعلاقات مماثلة في الخماسي .

تقريبية وحقيقية اللوالب الذهبية . يتكون اللولب الأخضر من ربع دوائر مماس للداخل من كل مربع، في حين أن اللولب الأحمر عبارة عن لولب ذهبي، وهو نوع خاص من اللولب اللوغاريتمي . تظهر الأجزاء المتداخلة باللون الأصفر . طول ضلع المربع الواحد مقسومًا على المربع الأصغر التالي هو النسبة الذهبية.

φ عدد حتى تتحول في كثير من الأحيان في الهندسة، ولا سيما في الأرقام مع خماسية التماثل . طول القطر المنتظم للخماسي يساوي φ ضلعها. رؤوس الأشكال العشرية الوجوه المنتظمة هي تلك الموجودة في ثلاثة مستطيلات ذهبية متعامدة بشكل متبادل.

لا توجد خوارزمية عامة معروفة لترتيب عدد معين من العقد بالتساوي على كرة، لأي تعريف من عدة تعريفات للتوزيع الزوجي (انظر، على سبيل المثال، مشكلة طومسون). ومع ذلك، ينتج تقريب مفيد من تقسيم الكرة إلى نطاقات متوازية ذات مساحة سطح متساوية ووضع عقدة واحدة في كل نطاق على خطوط طول متباعدة بقسم ذهبي من الدائرة، أي 360 درجة / φ ≅ 222.5 درجة. تم استخدام هذه الطريقة لترتيب 1500 مرآة للقمر الصناعي التشاركي الطلابي Starshine-3. [64]

قسمة القطعة المستقيمة على القسمة الداخلية على النسبة الذهبية

1. باستخدام قطعة مستقيمة AB، أنشئ BC عموديًا عند النقطة B، بحيث يكون BC نصف طول AB. ارسم الوتر AC.
2. ارسم قوسًا بمركزه C ونصف قطره BC. يتقاطع هذا القوس مع الوتر AC عند النقطة D.
3. ارسم قوسًا بمركزه A ونصف قطره AD. يتقاطع هذا القوس مع مقطع الخط الأصلي AB عند النقطة S. تقسم النقطة S مقطع الخط الأصلي AB إلى مقاطع خطية AS و SB بأطوال في النسبة الذهبية.

قسمة القطعة المستقيمة على القسمة الخارجية على النسبة الذهبية

1. ارسم مقطعًا مستقيًا AS وقم بتكوين الجزء S من النقطة SC عموديًا على AS وبنفس طول AS.
2. قم بتقسيم المقطع المستقيم AS مع M.
3. يتقاطع قوس دائري حول M بنصف قطر MC في النقطة B على الخط المستقيم عبر النقطتين A و S (المعروف أيضًا باسم امتداد AS). نسبة AS إلى الجزء المشيد SB هي النسبة الذهبية.

يمكنك أن ترى أمثلة تطبيقية في مقالات البنتاغون بطول ضلع معين، عشري مع دائرة معينة وعشر عشر مع طول ضلع معين .

تنتج كل من الخوارزميات المختلفة المعروضة أعلاه إنشاءات هندسية تحدد جزأين من الخط المحاذي حيث تكون نسبة الجزء الأطول إلى الأقصر هي النسبة الذهبية.

يمكن وصف المثلث الذهبي بأنه مثلث متساوي الساقين ABC مع خاصية تقطيع الزاوية C إلى نصفين ينتج عنها مثلث جديد CXB وهو مثلث مماثل للمثلث الأصلي.

إذا كانت الزاوية BCX = α، فإن XCA = α بسبب التقسيم، و CAB = α بسبب المثلثات المتشابهة ؛ ABC = 2α من التناظر الأصلي متساوي الساقين، و BXC = 2α بالتشابه. مجموع زوايا المثلث 180 درجة، لذا 5α = 180، مما يعطي α = 36 °. وبالتالي فإن زوايا المثلث الذهبي هي 36 درجة -72 درجة -72 درجة. زوايا المثلث المتساوي الساقين المتبقي AXC (تسمى أحيانًا العقرب الذهبي) هي 36 درجة -36 درجة -108 درجة.

لنفترض أن XB له طول 1، φ BC length. بسبب المثلثات متساوية الساقين XC = XA و BC = XC، فهذه أيضًا هي الطول φ. طول التيار المتردد = إذن AB يساوي φ + 1. لكن المثلث ABC مشابه للمثلث CXB، لذا AC / BC = BC / BX، AC / φ = φ / 1، وبالتالي فإن AC تساوي φ ² أيضًا. وهكذا φ ² = φ + 1، مما يؤكد أن φ هي بالفعل النسبة الذهبية.

وبالمثل، فإن نسبة مساحة المثلث الأكبر AXC إلى CXB الأصغر تساوي φ، بينما تكون النسبة العكسية φ - 1.

في البنتاغون العادي، تكون نسبة القطر إلى الضلع هي النسبة الذهبية، بينما يتقاطع قسم الأقطار مع بعضها البعض في النسبة الذهبية. [9]

لنفترض أن A و B هما نقطتا منتصف الجانبين EF و ED لمثلث متساوي الأضلاع DEF. قم بتوسيع AB لمقابلة دائرة أد بلو AdBlue عند C.<br />${\displaystyle {\tfrac {|AB|}{|BC|}}={\tfrac {|AC|}{|AB|}}=\phi }$

جورج أودوم أعطت بناء بسيط ملحوظ φ التي تنطوي على مثلث متساوي الأضلاع: إذا هو منصوص عليه مثلث متساوي الأضلاع في دائرة والجزء الخط الواصل بين نقاط المنتصف من الجانبين يتم إنتاج لتتقاطع دائرة في أي من نقطتين، ثم هذه النقاط الثلاث هي في نسبة ذهبية. هذه النتيجة هي نتيجة مباشرة لنظرية الأوتار المتقاطعة ويمكن استخدامها لبناء خماسي منتظم، وهو بناء جذب انتباه مقياس الهندسة الكندي الشهير سكوت ماكدونالد كوكستر الذي نشره باسم Odom كرسم تخطيطي في الرياضيات الأمريكية الشهرية مصحوبًا به كلمة واحدة "ها!" [65]

نجمة خماسية ملونة لتمييز أجزاء خطها بأطوال مختلفة. الأطوال الأربعة في النسبة الذهبية لبعضها البعض.

تلعب النسبة الذهبية دورًا مهمًا في هندسة الخماسي . كل تقاطع للحواف يقسم حواف أخرى في النسبة الذهبية. أيضا، فإن نسبة طول الجزء أقصر إلى الجزء يحدها من قبل اثنين من تقاطع حواف (جانب من البنتاغون في مركز النجم الخماسي) هو φ كما يظهر في الشكل أربعة ألوان.

يشتمل الخماسي على عشرة مثلثات متساوية الساقين : خمسة مثلثات حادة وخمسة منفرجة متساوية الساقين. في كل منهم، نسبة الضلع الأطول إلى الضلع الأقصر هي φ . المثلثات الحادة هي مثلثات ذهبية. مثلثات متساوية الساقين منفرجة هي عقرب ذهبية.

يمكن حساب النسبة الذهبية في البنتاغون العادي باستخدام نظرية بطليموس .

يمكن تأكيد خصائص النسبة الذهبية للبنتاغون المنتظم عن طريق تطبيق نظرية بطليموس على الشكل الرباعي الذي يتكون من إزالة أحد رؤوسه. إذا كانت الحافة الطويلة للشكل الرباعي وأقطارها ب، والحواف القصيرة أ، فإن نظرية بطليموس تعطي ب ² = أ ² + AB الذي ينتج

${\displaystyle {b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}.}$

ضع في اعتبارك مثلثًا له أطوال أطوال أ، ب، ج بترتيب تنازلي. حدد "حجم" المثلث ليكون الأصغر من النسبتين أ / ب و ب / ج . وscalenity هو دائما أقل من φ ويمكن أن يتم في أقرب وقت المطلوب φ [66]

إذا كانت أطوال أضلاع المثلث تشكل تقدمًا هندسيًا وكانت في النسبة 1 : ص: ص ^2، حيث r هي نسبة المشتركة، ثم ص يجب أن تكمن في φ مجموعة -1 <ص φ والتي هي نتيجة ل عدم المساواة مثلث (مجموع أي الجانبين من مثلث يجب أن تكون أكبر بدقة من طول الضلع الثالث). إذا ص = φ ثم الجانبين أقصر هي 1 و φ لكن مجموعهما هو φ ^2، وبالتالي ص φ تظهر عملية حسابية مماثلة أن r > φ −1. مثلث أضلاعه في النسبة 1 : √في : φ هو مثلث قائم الزاوية (لأن 1 + φ = φ ² ) يُعرف بمثلث كبلر . [67]

أحد المعينين ثلاثي السطوح

جميع وجوه الترياكونتاهيدرون المعينية هي ذهبية معينية

المعين الذهبي هو المعين الذي تكون أقطاره في النسبة الذهبية. ثلاثي السطوح المعين هو متعدد الأشكال ومحدب له خاصية خاصة جدًا: جميع وجوهه عبارة عن معينية ذهبية. في المثلث السطوح المعيني، تكون الزاوية ثنائية السطوح بين أي معينين متجاورين هي 144 درجة، وهو ضعف الزاوية المتساوية الساقين في المثلث الذهبي وأربعة أضعاف الزاوية الأكثر حدة. [68]

إن رياضيات النسبة الذهبية ومتوالية فيبوناتشي مترابطة بشكل وثيق. تسلسل فيبوناتشي هو:

1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987،. . .

يتضمن التعبير المغلق لتسلسل فيبوناتشي النسبة الذهبية:

${\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}.}$

كسورية مربعة ذهبية

لولب فيبوناتشي يقترب من اللولب الذهبي، باستخدام أحجام مربعات متتالية فيبوناتشي تصل إلى 34. يتم رسم اللولب بدءًا من المربع الداخلي 1 × 1 ويستمر للخارج إلى مربعات أكبر على التوالي.

المربعات الذهبية مع T- المتفرعة

النسبة الذهبية هي حد نسب المصطلحات المتعاقبة في متوالية فيبوناتشي (أو أي متوالية تشبه فيبوناتشي)، كما أوضح كبلر : [69]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}$ بمعنى آخر، إذا كان رقم فيبوناتشي مقسومًا على سابقه المباشر في التسلسل، فإن حاصل القسمة يقارب φ ؛ على سبيل المثال، 987/610 ≈ 1.6180327868852. هذه هي تقريبية بالتناوب الدنيا والعليا من φ وتتقارب إلى φ مع تزايد أعداد فيبوناتشي، و:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|F_{n}\varphi -F_{n+1}|=\varphi .}$

بشكل عام:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+a}}{F_{n}}}=\varphi ^{a},}$

حيث أعلاه، فإن نسب المصطلحات المتتالية لسلسلة فيبوناتشي، هي حالة متى ${\displaystyle a=1.}$

علاوة على ذلك، فإن القوى المتعاقبة لـ φ تخضع لتكرار فيبوناتشي:

${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}$

هذه الهوية تسمح أي متعدد الحدود في φ أن تنخفض إلى التعبير الخطي. فمثلا:

${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\&=3[(\varphi +1)+\varphi ]-5(\varphi +1)+4\\&=\varphi +2\approx 3.618.\end{aligned}}}$

يمكن تحقيق الاختزال إلى تعبير خطي في خطوة واحدة باستخدام العلاقة

${\displaystyle \varphi ^{k}=F_{k}\varphi +F_{k-1},}$

أين ${\displaystyle F_{k}}$ هو k th رقم فيبوناتشي.

ومع ذلك، فهذه ليست خاصية خاصة لـ φ، لأنه يمكن تقليل كثيرات الحدود في أي حل x لمعادلة تربيعية بطريقة مماثلة، من خلال تطبيق:

${\displaystyle x^{2}=ax+b}$

بالنسبة للمعاملات المعطاة أ، ب بحيث تحقق س المعادلة. حتى أكثر عموما، أي دالة كسرية (مع معاملات عقلانية) من جذر ن متعدد الحدود غير القابل للاختزال درجة عشر، على rationals يمكن خفضها إلى متعدد الحدود من الدرجة n ‒ 1. مصاغة من حيث نظرية المجال، إذا كانت α جذرًا لكثير حدود من الدرجة n غير القابلة للاختزال، إذن ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ درجة ن أكثر ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ مع الأساس ${\displaystyle \{1,\alpha ,\dots ,\alpha ^{n-1}\}.}$

النسبة الذهبية والنسبة الذهبية المعكوسة ${\displaystyle \varphi _{\pm }=(1\pm {\sqrt {5}})/2}$ لديها مجموعة من التناظرات التي تحافظ عليها وتربطها. كلاهما محفوظ من خلال التحويلات الخطية الجزئية ${\displaystyle x,1/(1-x),(x-1)/x,}$ - هذه الحقيقة تتوافق مع الهوية وتعريف المعادلة التربيعية. علاوة على ذلك، يتم تبادلهم بواسطة الخرائط الثلاث ${\displaystyle 1/x,1-x,x/(x-1)}$ - هم متبادلون، متماثلون ${\displaystyle 1/2}$، و (بشكل إسقاطي) متماثل حوالي 2.

بشكل أعمق، تشكل هذه الخرائط مجموعة فرعية من المجموعة المعيارية ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbf {Z} )}$ متماثل للمجموعة المتماثلة في 3 أحرف، ${\displaystyle S_{3},}$ المقابلة لمثبت المجموعة ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$ من 3 نقاط قياسية على خط الإسقاط، وتتوافق التماثلات مع خريطة حاصل القسمة ${\displaystyle S_{3}\to S_{2}}$ - المجموعة الفرعية ${\displaystyle C_{3}<S_{3}}$ تتكون من 3 دورات والهوية ${\displaystyle ()(01\infty )(0\infty 1)}$ يُصلح الرقمين، بينما تتبادل الدورتان هاتين، وبالتالي تتحقق الخريطة.

النسبة الذهبية لها أبسط تعبير (وأبطأ تقارب) كتوسيع كسر مستمر لأي عدد غير نسبي (انظر الصيغ البديلة أعلاه). ولهذا السبب، فهي واحدة من أسوأ حالات نظرية تقريب لاغرانج وهي حالة متطرفة لعدم مساواة هورويتز لتقديرات ديوفانتين. قد يكون هذا هو السبب في ظهور الزوايا القريبة من النسبة الذهبية في كثير من الأحيان في النمو النباتي (نمو النباتات). [70]

يؤدي تعريف كثير الحدود التربيعي والعلاقة المرافقة إلى قيم عشرية تشترك في φ الكسري مع φ :

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1=2.618\dots }$

${\displaystyle {1 \over \varphi }=\varphi -1=0.618\dots .}$ يحتوي تسلسل قوى φ على هذه القيم 0.618 ...، 1.0، 1.618 ...، 2.618 ... ؛ بشكل عام، فإن أي قوة لـ φ تساوي مجموع القوتين السابقتين مباشرة:

${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}$ ونتيجة لذلك، يمكن للمرء أن تتحلل بسهولة أي قوة φ إلى مضاعفات φ وثابت. المضاعف والثابت هما دائمًا أرقام فيبوناتشي متجاورة. يؤدي هذا إلى خاصية أخرى للقوى الإيجابية لـ φ :

إذا ${\displaystyle \lfloor n/2-1\rfloor =m}$، ثم:

${\displaystyle \!\ \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}}$

${\displaystyle \!\ \varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}=\varphi ^{n-2}.}$ عند استخدام النسبة الذهبية كأساس ل نظام الأرقام (انظر قاعدة النسبة الذهبية، يلقب في بعض الاحيان phinary أو φ -nary)، كل عدد صحيح لديه تمثيل تنتهي، على الرغم من φ يجري غير منطقي، ولكن كل جزء يحتوي على تمثيل إنهاء غير.

النسبة الذهبية هي وحدة أساسية في حقل العدد الجبري ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ وهو رقم Pisot – Vijayaraghavan . [19] في الحقل ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ لدينا ${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}}$، أين ${\displaystyle L_{n}}$ هل ${\displaystyle n}$ رقم لوكاس .

تظهر النسبة الذهبية أيضًا في الهندسة الزائدية، مثل المسافة القصوى من نقطة على جانب واحد من مثلث مثالي إلى أقرب الجانبين الآخرين: هذه المسافة، طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع الذي يتكون من نقاط التماس a الدائرة المدرجة داخل المثلث المثالي، هي ${\displaystyle 4\log(\varphi )}$ . [71]

تظهر النسبة الذهبية في نظرية الوظائف المعيارية أيضًا. دع

${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}.}$

ثم

${\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(e^{-2\pi {\sqrt {5}}})={\frac {\sqrt {5}}{1+\left(5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1\right)^{\frac {1}{5}}}}-\varphi .}$

أيضا إذا ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$ و ${\displaystyle ab=\pi ^{2}}$، ثم [72]

${\displaystyle (R(e^{-2a})+\varphi )(R(e^{-2b})+\varphi )=\varphi {\sqrt {5}}.}$

يمكن حساب التوسع العشري للنسبة الذهبية مباشرة من التعبير

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$

مع √5 2.2360679774997896964 OEIS : A002163 . يمكن حساب الجذر التربيعي للرقم 5 بالطريقة البابلية، بدءًا بتقدير أولي مثل x φ = 2 والتكرار

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {(x_{n}+5/x_{n})}{2}}}$

بالنسبة إلى n = 1، 2، 3، ...، حتى يصبح الفرق بين x _n و x _{n −1} صفرًا، إلى العدد المطلوب من الأرقام.

تعادل الخوارزمية البابلية لـ √5 طريقة نيوتن لحل المعادلة × ² - 5 = 0. في شكلها الأكثر عمومية، يمكن تطبيق طريقة نيوتن مباشرة على أي معادلة جبرية، بما في ذلك المعادلة × ² - x - 1 = 0 التي تحدد النسبة الذهبية. يعطي هذا تكرارًا يتقارب مع النسبة الذهبية نفسها،

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}-1}},}$

للحصول على تقدير أولي مناسب x φ مثل x φ = 1. الطريقة الأسرع قليلاً هي إعادة كتابة المعادلة كـ x - 1 - 1 / س = 0، وفي هذه الحالة يصبح تكرار نيوتن

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+2x_{n}}{x_{n}^{2}+1}}.}$ كل هذه التكرارات تتلاقى بشكل تربيعي ؛ أي أن كل خطوة تضاعف تقريبًا عدد الأرقام الصحيحة. وبالتالي، من السهل نسبيًا حساب النسبة الذهبية بدقة عشوائية . الوقت اللازم لحساب عدد n من النسبة الذهبية يتناسب مع الوقت اللازم لقسمة رقمين من رقم n . هذا أسرع بكثير من الخوارزميات المعروفة للأرقام المتعالية π و e .

من البدائل التي تتم برمجتها بسهولة باستخدام الحساب الصحيح فقط حساب رقمين متتاليين من أرقام فيبوناتشي وتقسيمهما. نسبة أرقام فيبوناتشي F ₂₅₀₀₁ و F ₂₅₀₀₀، كل منها يزيد عن 5000 رقم، ينتج أكثر من 10000 رقم مهم من النسبة الذهبية.

تم حساب التوسع العشري للنسبة الذهبية φ [11] بدقة تصل إلى تريليوني ( 2 = 2،000،000،000،000) رقم. [73]

الهرم الذي يكون فيه apothem (الارتفاع المائل على طول منصف الوجه) يساوي φ مرة نصف القاعدة (نصف عرض القاعدة) يسمى أحيانًا الهرم الذهبي . يمكن إنشاء المثلث متساوي الساقين الذي يمثل وجه مثل هذا الهرم من نصفي مستطيل ذهبي منقسم قطريًا (بحجم شبه قاعدي من خلال apothem)، وينضم إلى الحواف متوسطة الطول لتكوين apothem. ارتفاع هذا الهرم ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ ضرب شبه القاعدة (أي ميل الوجه هو ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ ) ؛ مربع الارتفاع يساوي مساحة الوجه، φ في مربع شبه القاعدة.

المثلث الإنسي الأيمن لهذا الهرم "الذهبي" (انظر الشكل)، مع جوانب ${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$ مثير للاهتمام في حد ذاته، مما يدل على العلاقة من خلال نظرية فيثاغورس ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}={\sqrt {\varphi ^{2}-1}}}$ أو ${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+\varphi }}}$ . مثلث كبلر هذا [74] هو النسبة الوحيدة للمثلث الأيمن التي لها أطوال حواف في التقدم الهندسي، [75] [67] تمامًا كما أن المثلث 3–4–5 هو نسبة المثلث الأيمن الوحيد مع أطوال الحافة في التدرج الحسابي . الزاوية مع الظل ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ يتوافق مع الزاوية التي يصنعها جانب الهرم بالنسبة إلى الأرض، 51.827 ... درجة (51 ° 49 '38 "). [76]

شكل هرمي مشابه تقريبًا، ولكن بنسب منطقية، موصوف في بردية ريند الرياضية (مصدر جزء كبير من المعرفة الحديثة للرياضيات المصرية القديمة)، استنادًا إلى المثلث 3: 4: 5 ؛ [77] منحدر الوجه المقابل للزاوية ذات المماس 4/3 هو، لأقرب منزلتين عشريتين، 53.13 درجة (53 درجة و 8 دقائق). ارتفاع الميل هو 5/3 أو 1.666 ... أضعاف شبه القاعدة. تحتوي بردية Rhind أيضًا على مشكلة هرمية أخرى، ومرة أخرى بمنحدر منطقي (يُعبر عنه بالدور فوق الارتفاع). لم تتضمن الرياضيات المصرية فكرة الأعداد غير المنطقية، [78] واستخدم المنحدر العكسي المنطقي (الركض / الارتفاع، مضروبًا في 7 للتحويل إلى وحداتهم التقليدية من النخيل لكل ذراع) في بناء الأهرامات. [77]

هرم رياضي آخر بنسب مماثلة تقريبًا للهرم "الذهبي" هو الهرم الذي محيطه يساوي 2 π ضعف الارتفاع، أو h: b = 4: π . تبلغ زاوية هذا المثلث 51.854 درجة (51 درجة 51 بوصة)، وهي قريبة جدًا من 51.827 درجة لمثلث كبلر. تتوافق هذه العلاقة الهرمية مع علاقة مصادفات رياضية ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}\approx 4/\pi }$ .

الأهرامات المصرية متقاربة جدا بما يتناسب مع هذه الأهرامات الرياضية المعروفة. [79] [67]

الهرم الأكبر بالجيزة

أحد الأهرامات المصرية القريبة من "الهرم الذهبي" هو الهرم الأكبر بالجيزة (المعروف أيضًا باسم هرم خوفو أو خوفو). منحدره البالغ 51 درجة 52 'قريب من ميل الهرم "الذهبي" عند 51 درجة 50' - وحتى أقرب إلى ميل الهرم القائم على π البالغ 51 درجة 51 '. ومع ذلك، تم العثور على العديد من النظريات الرياضية الأخرى لشكل الهرم الأكبر، استنادًا إلى المنحدرات المنطقية، على أنها تفسيرات أكثر دقة وأكثر منطقية لمنحدر 51 درجة 52 '. [67]

في منتصف القرن التاسع عشر، ودرس فريدريش ROBER الأهرامات المصرية المختلفة بما في ذلك تلك التي خفرع، منقرع، وبعض الجيزة، سقارة، و أبوصير المجموعات. لم يطبق النسبة الذهبية على الهرم الأكبر في الجيزة، لكنه وافق بدلاً من ذلك مع جون شاي بيرنج على أن نسبة الجانب إلى الارتفاع هي 8: 5. بالنسبة لجميع الأهرامات الأخرى، طبق القياسات المتعلقة بمثلث كبلر، وادعى أن أطوال أضلاعها الكاملة أو نصفها مرتبطة بارتفاعها من خلال النسبة الذهبية. [80]

في عام 1859، أساء عالم الهرم جون تايلور تفسير هيرودوت ( c. 440 BC ) على أنه يشير إلى أن مربع ارتفاع الهرم الأكبر يساوي مساحة أحد مثلثات وجهه. [arabic-abajed 6] أدى ذلك إلى ادعاء تايلور أنه في الهرم الأكبر، يتم تمثيل النسبة الذهبية بنسبة طول الوجه (ارتفاع المنحدر، يميل بزاوية θ على الأرض) إلى نصف الطول من ضلع القاعدة المربعة (ما يعادل قاطع الزاوية θ). [82] 186.4 متر (612 قدم) أعلاه 186.4 متر (612 قدم) حوالي 186.4 متر (612 قدم) و 115.2 متر (378 قدم) ، على التوالي. [3] نسبة هذه الأطوال هي النسبة الذهبية، وهي دقيقة لأرقام أكثر من أي من القياسات الأصلية. وبالمثل، أفاد هوارد فايس بارتفاع الهرم الأكبر 148.2 متر (486 قدم)، ونصف القاعدة 116.4 متر (382 قدم)، مما ينتج عنه 1.6189 لنسبة الارتفاع المائل إلى نصف القاعدة، مرة أخرى أكثر دقة من تقلب البيانات. [75]

ادعى إريك تمبل بيل، عالم الرياضيات والمؤرخ، في عام 1950 أن الرياضيات المصرية لن تدعم القدرة على حساب الارتفاع المائل للأهرامات، أو النسبة إلى الارتفاع، باستثناء حالة الهرم 3: 4: 5، منذ ذلك الحين كان المثلث 3: 4: 5 هو المثلث القائم الزاوية الوحيد المعروف للمصريين ولم يعرفوا نظرية فيثاغورس، ولا بأي طريقة للتفكير حول اللاعقلانية مثل π أو φ . [83] تتطابق أمثلة المشكلات الهندسية لتصميم الهرم في بردية Rhind مع منحدرات منطقية مختلفة. [67]

يؤكد مايكل رايس [84] أن المراجع الرئيسية في تاريخ العمارة المصرية جادلت بأن المصريين كانوا على دراية جيدة بالنسبة الذهبية وأنها جزء من رياضيات الأهرامات، مستشهدين بجيدون (1957). [85] ناقش مؤرخو العلوم منذ فترة طويلة ما إذا كان لدى المصريين أي معرفة من هذا القبيل، معتبرين أن ظهوره في الهرم الأكبر هو نتيجة الصدفة. [86]

يُزعم أن العديد من نسب البارثينون تظهر النسبة الذهبية، لكن هذا قد فقد مصداقيته إلى حد كبير. [3]

قال البعض إن واجهة البارثينون (حوالي 432 قبل الميلاد) وكذلك عناصر من واجهته وأماكن أخرى محصورة بمستطيلات ذهبية. [96] ينكر علماء آخرون أن الإغريق كان لهم أي ارتباط جمالي مع النسبة الذهبية. على سبيل المثال، يقول كيث ديفلين، "بالتأكيد، التأكيد المتكرر في كثير من الأحيان على أن البارثينون في أثينا يعتمد على النسبة الذهبية لا تدعمه القياسات الفعلية. في الواقع، يبدو أن القصة الكاملة عن الإغريق والنسبة الذهبية بلا أساس ". [97] يؤكد مدحت ج. غازالي أنه "لم تتم دراسة الخصائص الرياضية للنسبة الذهبية حتى إقليدس ...". [98]

من قياسات 15 معبدًا و 18 مقبرة ضخمة و 8 توابيت و 58 لوحة قبر من القرن الخامس قبل الميلاد إلى القرن الثاني الميلادي، خلص أحد الباحثين إلى أن النسبة الذهبية كانت غائبة تمامًا عن العمارة اليونانية الكلاسيكية في القرن الخامس قبل الميلاد، وتقريباً غائب خلال القرون الستة التالية. [99] مصادر لاحقة مثل فيتروفيوس (القرن الأول BC) تناقش حصريًا النسب التي يمكن التعبير عنها بأعداد صحيحة، أي تناسبها على عكس النسب غير المنطقية.

القسم الذهبي (القسم الذهبي) كان عبارة عن مجموعة من الرسامين والنحاتين والشعراء والنقاد المرتبطين بالتكعيبية والأورفية . [100] نشط من عام 1911 إلى حوالي عام 1914، واعتمدوا الاسم على حد سواء لتسليط الضوء على أن التكعيبية تمثل استمرارًا لتقليد كبير، بدلاً من كونها حركة معزولة، وتكريمًا للتناغم الرياضي المرتبط بجورج سورات . [101] لاحظ التكعيبيون في تناغمها، والهيكلة الهندسية للحركة والشكل، وأولوية الفكرة على الطبيعة، والوضوح العلمي المطلق للتصور. [102] ومع ذلك، على الرغم من هذا الاهتمام العام بالانسجام الرياضي، يصعب تحديد ما إذا كانت اللوحات المعروضة في معرض Salon de la Section d'Or الشهير عام 1912 تستخدم النسبة الذهبية في أي تراكيب. ليفيو، على سبيل المثال، تدعي أنهم لم يفعلوا ذلك، [3] ومارسيل دوشامب قال ذلك في مقابلة. [103] من ناحية أخرى، يشير أحد التحليلات إلى أن خوان جريس استفاد من النسبة الذهبية في تأليف الأعمال التي كان من المحتمل، ولكن ليس بشكل قاطع، عرضها في المعرض. [103] [104] [105] جادل مؤرخ الفن دانييل روبينز أنه بالإضافة إلى الإشارة إلى المصطلح الرياضي، يشير اسم المعرض أيضًا إلى مجموعة Bandeaux d'Or السابقة، التي شارك فيها ألبرت جليز وأعضاء سابقون آخرون في Abbaye de Créteil (باي دي كريتيل.) [106]

قيل إن بيت موندريان استخدم القسم الذهبي على نطاق واسع في لوحاته الهندسية، [107] الرغم من أن خبراء آخرين (بما في ذلك الناقد إيف-آلان بوا ) فقدوا مصداقية هذه الادعاءات. [108] [3]