متتالية هندسية

لايجاد الحد النوني لمتتالية هندسية، تستعمل المعادلة التالية:

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}.}$

حيث a هي الحد الأول و r هي الفرق العام (يُغير الرمز هنا لتمييز المتتالية الهندسية عن الحسابية), و n هي عدد الحدود (أو الحد المطلوب). فيما يلي مثال :

المتتالية 3، 6، 12 ،24... هي متتالية هندسية حدها الأول هو a = 3, وأساسها هو r = 2 لأن قسمة حد ما على الحد الذي سبقه تعطي دائما اثنين (6 مقسومة على 3 تعطي 2، و 12 مقسومة على 6 تعطي 2 و 24 مقسومة على 12 تعطي 2، وهكذا). لايجاد الحد الخامس، على سبيل المثال (n = 5), تطبق المعادلة المعرفة أعلاه كما يلي:

${\displaystyle a_{5}=3*\,2^{5-1}=3*16=48}$

إذن الحد الخامس يساوي 48.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{k}=u_{0}+\cdots +u_{n}=u_{0}(1+q+\cdots +q^{n})=u_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\ \ (q\neq 1)}$

المتسلسلة الهندسية هي مجموع حدود المتتالية الهندسية

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}.\,}$

المتسلسلات الهندسية غير المنتهية

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}}$

مخطط يبين المتسلسلة الهندسية 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... التي تؤول إلى 2.

عالج أقليدس في كتابي الأصول الثامن والتاسع المتتاليات الهندسية وعرف عددا من خواصها.

• متتالية حسابية،
• متسلسلة هندسية
• دالة أسية

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي