دالة كمولة تربيعيا

الدوال الكمولة تربيعيًا (بالمعنى المشار اليه سابقا حيث «الدالة» في الواقع تعني فئة متكافئة من الدوال التي تتساوى في كل مكان تقريبًا) تشكل فضاءًا للجداء الداخلي، حيث يعرف الجداء الداخلي كالتالي:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x}$

حيث

• ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ هي دوال كمولة تربيعيًا،
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$ هو المرافق المركب لـ ${\displaystyle f(x)}$،
• ${\displaystyle A}$ هي المجموعة التي يتم التكامل عليها — راجع التعريف الأول (الوارد في المقدمة بالأعلى)، ${\displaystyle A}$ في أول تعريف لها هي ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ ؛ وفي التعريف الثاني ${\displaystyle A}$ هي ${\displaystyle [a,b]}$.

ولأن ${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$، قابلة للتكامل تربيعيا، فكأننا قلنا:

${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$

يمكن إظهار أن الدوال الكمولة تربيعيا تشكل فضاءًا متريًا كاملًا تحت القياس الناتج عن الجداء الداخلي الموضح أعلاه. يُطلق على الفضاء المتري الكامل أيضًا فضاء كوشي "Cauchy space"، لأن المتتاليات في مثل هذه الفضاءات المترية تتقارب إذا وفقط إذا كانت كوشية. الفضاء المكتمل تحت قياس بمعيار هو فضاء باناخ. لذا، فإن فضاء الدوال الكمولة تربيعيا هو فضاء باناخ، تحت القياس بمعيار، وهو بدوره نتج عن الجداء الداخلي. ونظرًا لأن لدينا خاصية إضافية وهي الجداء الداخلي، فهذا الفضاء تحديدًا هو فضاء هيلبرت، لأن الفضاء مكتمل تحت القياس الناتج عن الجداء الداخلي.

يُشَار إلى فضاء الجداء الداخلي هذا بالرمز ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$ وكثيرا ما يختصر كـ ${\displaystyle L_{2}}$. لاحظ أن ${\displaystyle L_{2}}$ يشير إلى مجموعة الدوال القابلة للتكامل (كمولة) تربيعيا، ولكن بدون تحديد للقياس أو المعيار أو الجداء الداخلي. المجموعة ${\displaystyle L_{2}}$، مع الجداء الداخلي ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$ يحدد فضاء الجداء الداخلي.

فضاء الدوال الكمولة تربيعيا هو فضاء L^p حيث ${\displaystyle p=2}$.

• ${\displaystyle {\frac {1}{x^{n}}}}$ ، مُعَرَّفَة على (0,1)، هي في L ² للقيم ${\displaystyle n<{\frac {1}{2}}}$ ولكن ليست معرفة للقيمة ${\displaystyle n={\frac {1}{2}}}$.[3]
• الدوال المحدودة، مُعَرَّفَة على [0,1]. هذه الدوال موجودة أيضًا في فضاء L ^p، لأي قيمة لـ p.[7]
• ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$، مُعَرَّفَة على ${\displaystyle [1,\infty )}$.[7]

• الدالة ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$، مُعرَّفة على [0,1]، حيث تكون القيمة عند 0 اختيارية (أي قيمة). علاوة على ذلك، هذه الدالة ليست في فضاء L ^p لأي قيمة لـ p في ${\displaystyle [1,\infty )}$.

• بوابة تحليل رياضي