عزم القصور الذاتي

يمكن قياس لحظة القصور الذاتي باستخدام بندول بسيط، لأنها مقاومة للدوران الذي تسببه الجاذبية. من الناحية الحسابية، فإن لحظة القصور الذاتي للبندول هي نسبة عزم الدوران بسبب الجاذبية حول محور البندول إلى تسارعه الزاوي حول نقطة المحور تلك. بالنسبة للبندول البسيط، وجد أن هذا هو نتاج كتلة الجسيم ${\displaystyle m}$ مع مربع المسافة ${\displaystyle r}$ إلى المحور، هذا هو

${\displaystyle I=mr^{2}.}$

يمكن توضيح ذلك على النحو التالي: تولد قوة الجاذبية على كتلة بندول بسيط عزمًا ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$ حول المحور العمودي على مستوى حركة البندول. هنا ${\displaystyle \mathbf {r} }$ هو متجه المسافة عمودي على ومن القوة إلى محور عزم الدوران، و ${\displaystyle \mathbf {F} }$ هي القوة الكلية المؤثرة على الكتلة. يرتبط بهذا العزم تسارع زاوية، ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$، من الخيط والكتلة حول هذا المحور. بما أن الكتلة مقيدة بدائرة، فإن التسارع المماسي للكتلة هو ${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }$. منذ ${\displaystyle F=ma}$ تصبح معادلة عزم الدوران:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m((\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ){\boldsymbol {\alpha }}-(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }})\mathbf {r} )\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$

أين ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ هو متجه وحدة عمودي على مستوى البندول. (تستخدم الخطوة الثانية إلى الأخيرة تمدد المنتج الثلاثي المتجه بعمودية ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ و ${\displaystyle \mathbf {r} }$.) الكمية ${\displaystyle I=mr^{2}}$ هي لحظة القصور الذاتي لهذه الكتلة المفردة حول النقطة المحورية.

الكمية ${\displaystyle I=mr^{2}}$ يظهر أيضًا في الزخم الزاوي للبندول البسيط، والذي يُحسب من السرعة ${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$ من كتلة البندول حول المحور، أين ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ هي السرعة الزاوية للكتلة حول النقطة المحورية. يتم إعطاء هذا الزخم الزاوي بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\\&=m((\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ){\boldsymbol {\omega }}-(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }})\mathbf {r} )\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$

باستخدام اشتقاق مشابه للمعادلة السابقة.

وبالمثل، يتم تحديد الطاقة الحركية لكتلة البندول من خلال سرعة البندول حول المحور لإنتاج

${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.}$

هذا يدل على أن الكمية ${\displaystyle I=mr^{2}}$ هي كيف تتحد الكتلة مع شكل الجسم لتعريف القصور الذاتي الدوراني. لحظة القصور الذاتي للجسم المتشكل بشكل تعسفي هي مجموع القيم ${\displaystyle mr^{2}}$ لجميع عناصر الكتلة في الجسم.

البندولات المستخدمة في جهاز مقياس الجاذبية مندنهال، من مجلة علمية 1897. قدم مقياس الجاذبية المحمول الذي طوره توماس سي ميندنهال في عام 1890 أدق القياسات النسبية لحقل الجاذبية المحلي للأرض.

البندول المركب عبارة عن جسم يتكون من مجموعة من الجسيمات ذات الشكل المستمر والتي تدور بشكل صارم حول محور. لحظة القصور الذاتي لها هي مجموع لحظات القصور الذاتي لكل من الجزيئات التي تتكون منها.[16][17] ^:395–396 [18] ^:51–53 التردد الطبيعي (${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$) بندول مركب يعتمد على لحظة قصوره الذاتي، ${\displaystyle I_{P}}$،

${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$

أين ${\displaystyle m}$ هي كتلة الجسم، ${\displaystyle g}$ هو تسارع الجاذبية المحلي، و ${\displaystyle r}$ هي المسافة من النقطة المحورية إلى مركز كتلة الجسم. يوفر قياس تردد التذبذب هذا على عمليات الإزاحة الزاوية الصغيرة طريقة فعالة لقياس لحظة القصور الذاتي للجسم.[19] ^:516–517

وبالتالي، لتحديد لحظة القصور الذاتي للجسم، ما عليك سوى تعليقه من نقطة محورية مناسبة ${\displaystyle P}$ بحيث يتأرجح بحرية في مستوى عمودي على اتجاه لحظة القصور الذاتي المطلوبة، ثم يقيس تردده الطبيعي أو فترة التذبذب (${\displaystyle t}$)، ليحصل

${\displaystyle I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},}$

أين ${\displaystyle t}$ هي فترة (مدة) التذبذب (عادة ما يتم حساب متوسطها على فترات متعددة).

البندول البسيط الذي له نفس التردد الطبيعي مثل البندول المركب يحدد الطول ${\displaystyle L}$ من المحور إلى نقطة تسمى مركز تذبذب البندول المركب. تتوافق هذه النقطة أيضًا مع مركز الإيقاع. الطول ${\displaystyle L}$ يتم تحديده من الصيغة،

${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {g}{L}}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$

أو

${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {I_{P}}{mr}}.}$

يستغرق بندول الثواني، الذي يوفر «علامة» و «تدق» ساعة الجد، ثانية واحدة للتأرجح من جانب إلى آخر. هذه فترة ثانيتين، أو تكرار طبيعي لـ ${\displaystyle \pi \ \mathrm {rad/s} }$ للبندول. في هذه الحالة، المسافة إلى مركز التذبذب، ${\displaystyle L}$، يمكن حسابها لتكون

${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\approx {\frac {9.81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3.14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\approx 0.99\ \mathrm {m} .}$

لاحظ أنه يجب تعديل المسافة إلى مركز تذبذب بندول الثواني لتلائم القيم المختلفة لتسارع الجاذبية المحلي. بندول كاتر هو بندول مركب يستخدم هذه الخاصية لقياس التسارع المحلي للجاذبية، ويسمى مقياس الجاذبية.

أربعة أجسام ذات كتل وأنصاف أقطار متطابقة تتسابق على مستوى أثناء التدحرج دون الانزلاق.

من الخلف إلى الأمام:

•      spherical shell,
•      solid sphere,
•      cylindrical ring, and
•      solid cylinder.

يتم حساب لحظة القصور الذاتي حول محور الجسم عن طريق الجمع ${\displaystyle mr^{2}}$ لكل جسيم في الجسم، أين ${\displaystyle r}$ هي المسافة العمودية على المحور المحدد. لمعرفة كيف تنشأ لحظة القصور الذاتي في دراسة حركة الجسم الممتد، من المناسب التفكير في تجميع جامد للكتل النقطية. (يمكن استخدام هذه المعادلة للمحاور التي ليست محاور رئيسية بشرط أن يكون مفهوماً أن هذا لا يصف بشكل كامل لحظة القصور الذاتي.[22])

ضع في اعتبارك الطاقة الحركية لتجميع ${\displaystyle N}$ الجماهير ${\displaystyle m_{i}}$ التي تقع في المسافات ${\displaystyle r_{i}}$ من النقطة المحورية ${\displaystyle P}$، وهي أقرب نقطة على محور الدوران. هو مجموع الطاقة الحركية للكتل الفردية، [19] ^:516–517 [23] ^:1084–1085 [23] ^:1296–1300

${\displaystyle E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$

هذا يدل على أن لحظة القصور الذاتي للجسم هي مجموع كل من ${\displaystyle mr^{2}}$ الشروط، هذا هو

${\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$

وبالتالي، فإن لحظة القصور الذاتي هي خاصية فيزيائية تجمع بين كتلة الجسيمات وتوزيعها حول محور الدوران. لاحظ أن الدوران حول محاور مختلفة لنفس الجسم ينتج عنه لحظات مختلفة من القصور الذاتي.

يتم حساب لحظة القصور الذاتي لجسم مستمر يدور حول محور محدد بنفس الطريقة، باستثناء عدد لا نهائي من الجسيمات النقطية. وهكذا يتم إزالة حدود الجمع، ويتم كتابة المجموع على النحو التالي:

${\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$

تعبير آخر محل الجمع مع يتجزأ،

${\displaystyle I_{P}=\iiint \limits _{Q}\rho \left(x,y,z\right)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\mathrm {d} V}$

هنا، الوظيفة ${\displaystyle \rho }$ يعطي كثافة الكتلة في كل نقطة ${\displaystyle (x,y,z)}$، ${\displaystyle \mathbf {r} }$ هو متجه عمودي على محور الدوران ويمتد من نقطة على محور الدوران إلى نقطة ${\displaystyle (x,y,z)}$ في الصلب، ويتم تقييم التكامل على مستوى الحجم ${\displaystyle V}$ من الجسم ${\displaystyle Q}$. تتشابه لحظة القصور الذاتي لسطح مستو مع كثافة الكتلة التي يتم استبدالها بكثافة الكتلة المساحية مع تقييم التكامل على مساحتها.

ملاحظة في اللحظة الثانية من المنطقة : غالبًا ما يتم الخلط بين لحظة القصور الذاتي لجسم يتحرك في مستو واللحظة الثانية لمنطقة المقطع العرضي للحزمة. لحظة القصور الذاتي للجسم مع شكل المقطع العرضي هي اللحظة الثانية من هذه المنطقة حول ${\displaystyle z}$ - المحور العمودي على المقطع العرضي مرجحًا بكثافته. وهذا ما يسمى أيضًا باللحظة القطبية للمنطقة، وهو مجموع اللحظات الثانية حول ${\displaystyle x}$ - و ${\displaystyle y}$ - المحاور.[24] يتم حساب الضغوط في الحزمة باستخدام اللحظة الثانية من منطقة المقطع العرضي حول أي منهما ${\displaystyle x}$ -محور أو ${\displaystyle y}$ - المحور حسب الحمولة.

تبدأ لحظة القصور الذاتي للبندول المركب من قرص رفيع مركب في نهاية قضيب رفيع يتأرجح حول محور في الطرف الآخر من القضيب، ويبدأ بحساب لحظة القصور الذاتي للقضيب الرفيع والقرص الرفيع حول مراكز الكتلة الخاصة بهم.[23]

توفر قائمة لحظات معادلات القصور الذاتي لأشكال الجسم القياسية طريقة للحصول على لحظة القصور الذاتي للجسم المعقد كتجميع لأجسام ذات أشكال أبسط. تُستخدم نظرية المحور المتوازي لتحويل النقطة المرجعية للأجسام الفردية إلى النقطة المرجعية للتجميع.

كمثال آخر، ضع في اعتبارك لحظة القصور الذاتي للكرة الصلبة ذات الكثافة الثابتة حول محور من خلال مركز كتلته. يتم تحديد ذلك من خلال جمع لحظات القصور الذاتي للأقراص الرقيقة التي تشكل الكرة. إذا تم تعريف سطح الكرة بالمعادلة [23] ^:1301

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},}$

ثم مربع نصف القطر ${\displaystyle r}$ من القرص في المقطع العرضي ${\displaystyle z}$ على طول ${\displaystyle z}$ -المحور هو

${\displaystyle r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.}$

لذلك، فإن لحظة القصور الذاتي للكرة هي مجموع لحظات القصور الذاتي للأقراص على طول ${\displaystyle z}$ -محور،

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{C,{\text{ball}}}&=\int _{-R}^{R}{\frac {\pi \rho }{2}}r(z)^{4}\,\mathrm {d} z=\int _{-R}^{R}{\frac {\pi \rho }{2}}\left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,\mathrm {d} z\\&=\left.{\frac {\pi \rho }{2}}\left(R^{4}z-{\frac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\frac {1}{5}}z^{5}\right)\right|_{-R}^{R}\\&=\pi \rho \left(1-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)R^{5}\\&={\frac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}}$

أين ${\displaystyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$ هي كتلة الكرة.

تتدحرج الأسطوانات ذات العزم العالي من القصور الذاتي على منحدر مع تسارع أصغر، حيث يلزم تحويل المزيد من طاقتها الكامنة إلى طاقة حركية دورانية.

إذا كان النظام الميكانيكي مقيدًا بالتحرك بالتوازي مع مستوى ثابت، فإن دوران الجسم في النظام يحدث حول محور ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ عمودي على هذا المستوى. في هذه الحالة، فإن لحظة القصور الذاتي للكتلة في هذا النظام هي رقم قياسي يُعرف بالعزم القطبي للقصور الذاتي. يمكن الحصول على تعريف العزم القطبي للقصور الذاتي من خلال النظر في الزخم والطاقة الحركية وقوانين نيوتن للحركة المستوية لنظام جامد من الجسيمات.[16][19][25][26]

إذا كان نظام ${\displaystyle n}$ حبيبات، ${\displaystyle P_{i},i=1,...,n}$، يتم تجميعها في جسم صلب، ثم يمكن كتابة زخم النظام من حيث المواضع بالنسبة إلى نقطة مرجعية ${\displaystyle \mathbf {R} }$، والسرعات المطلقة ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}}$

أين ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ هي السرعة الزاوية للنظام و ${\displaystyle \mathbf {V} }$ هي سرعة ${\displaystyle \mathbf {R} }$.

بالنسبة للحركة المستوية، يتم توجيه متجه السرعة الزاوية على طول متجه الوحدة ${\displaystyle \mathbf {k} }$ وهو عمودي على مستوى الحركة. قدم نواقل الوحدة ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ من النقطة المرجعية ${\displaystyle \mathbf {R} }$ لنقطة ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$، وناقل الوحدة ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$، وبالتالي

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}$

يحدد هذا متجه الموقع النسبي ومتجه السرعة للنظام الصلب للجسيمات المتحركة في المستوى.

ملاحظة حول الضرب العرضي : عندما يتحرك الجسم بشكل موازٍ لمستوى الأرض، فإن مسارات جميع النقاط في الجسم تقع في مستويات موازية لمستوى الأرض هذا. هذا يعني أن أي دوران يخضع له الجسم يجب أن يكون حول محور عمودي على هذا المستوى. غالبًا ما يتم تقديم الحركة المستوية على أنها مسقطة على مستوى الأرض هذا بحيث يظهر محور الدوران كنقطة. في هذه الحالة، تعتبر السرعة الزاوية والتسارع الزاوي للجسم عددًا قياسيًا ويتم تجاهل حقيقة كونهما متجهين على طول محور الدوران. هذا هو المفضل عادة لمقدمات الموضوع. ولكن في حالة القصور الذاتي، فإن الجمع بين الكتلة والهندسة يستفيد من الخصائص الهندسية للمنتج المتقاطع. لهذا السبب، في هذا القسم الخاص بالحركة المستوية، تكون السرعة الزاوية والتسارع للجسم نواقل متعامدة على مستوى الأرض، وعمليات الضرب العرضية هي نفسها المستخدمة في دراسة حركة الجسم الصلبة المكانية.

يتم إعطاء متجه الزخم الزاوي للحركة المستوية لنظام صلب من الجسيمات بواسطة [16][19]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}}$

استخدم مركز الكتلة ${\displaystyle \mathbf {C} }$ كنقطة مرجعية لذلك

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}}$

وتحديد لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ مثل

${\displaystyle I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},}$

ثم تبسط معادلة الزخم الزاوي إلى [23] ^:1028

${\displaystyle \mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .}$

لحظة الجمود ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ حول محور عمودي على حركة النظام الصلب وعبر مركز الكتلة يُعرف بالعزم القطبي للقصور الذاتي. على وجه التحديد، إنها اللحظة الثانية للكتلة فيما يتعلق بالمسافة المتعامدة من المحور (أو القطب).

بالنسبة لمقدار معين من الزخم الزاوي، يؤدي الانخفاض في لحظة القصور الذاتي إلى زيادة السرعة الزاوية. يمكن للمتزلجين على الجليد تغيير لحظة القصور الذاتي عن طريق سحب أذرعهم. وبالتالي، فإن السرعة الزاوية التي يحققها المتزلج بأذرع ممدودة ينتج عنه سرعة زاوية أكبر عند سحب الذراعين للداخل، بسبب انخفاض لحظة القصور الذاتي. المتزلج على الجليد ليس، مع ذلك، جسمًا صلبًا.

تستخدم آلة القص الدوارة هذه عام 1906 لحظة القصور الذاتي لحذافتين لتخزين الطاقة الحركية التي تستخدم عند إطلاقها لقطع مخزون المعادن (المكتبة الدولية للتكنولوجيا، 1906).

تعطى الطاقة الحركية لنظام جامد من الجسيمات المتحركة في المستوى من خلال [16][19]

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}}$

دع النقطة المرجعية تكون مركز الكتلة ${\displaystyle \mathbf {C} }$ من النظام بحيث يصبح المصطلح الثاني صفراً، ويدخل لحظة القصور الذاتي ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ لذلك فإن الطاقة الحركية تعطى بواسطة [23] ^:1084

${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .}$

لحظة الجمود ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ هي اللحظة القطبية لقصور الجسم.

جرار John Deere من عشرينيات القرن الماضي مع دولاب الموازنة على المحرك. تسهل اللحظة الكبيرة من القصور الذاتي في دولاب الموازنة تشغيل الجرار.

قوانين نيوتن لنظام صارم لـ ${\displaystyle n}$ حبيبات، ${\displaystyle P_{i},i=1,...,n}$، يمكن كتابتها من حيث القوة المحصلة وعزم الدوران عند نقطة مرجعية ${\displaystyle \mathbf {R} }$، للحصول على [16][19]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}}$

أين ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ يشير إلى مسار كل جسيم.

و الكينماتيكا هيئة جامدة ينتج صيغة لتسريع الجسيمات ${\displaystyle P_{i}}$ من حيث الموقف ${\displaystyle \mathbf {R} }$ والتسارع ${\displaystyle \mathbf {A} }$ للجسيم المرجعي وكذلك متجه السرعة الزاوية ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ومتجه التسارع الزاوي ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ للنظام الجامد للجسيمات مثل،

${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .}$

بالنسبة للأنظمة المقيدة بالحركة المستوية، يتم توجيه السرعة الزاوية ومتجهات التسارع الزاوي على طول ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ عمودي على مستوى الحركة، مما يبسط معادلة التسارع هذه. في هذه الحالة، يمكن تبسيط متجهات التسارع بإدخال متجهات الوحدة ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ من النقطة المرجعية ${\displaystyle \mathbf {R} }$ لنقطة ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ونواقل الوحدة ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$، وبالتالي

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}}$

ينتج عن هذا عزم الدوران الناتج على النظام كـ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$

أين ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0} }$ وو ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} }$ هل متجه الوحدة عمودي على المستوى لجميع الجسيمات ${\displaystyle P_{i}}$.

استخدم مركز الكتلة ${\displaystyle \mathbf {C} }$ كنقطة مرجعية وتحديد لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$، ثم تبسط معادلة العزم الناتج إلى [23] ^:1029

استخدم مركز الكتلة ${\displaystyle \mathbf {C} }$ كنقطة مرجعية وتحديد لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$، ثم تبسط معادلة العزم الناتج إلى [23] ^:1029

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .}$

لاحظ أنه يمكن كتابة حاصل الضرب التبادلي بشكل مكافئ كضرب مصفوفة من خلال دمج المعامل الأول والعامل في مصفوفة انحراف متماثل، ${\displaystyle \left[\mathbf {b} \right]}$، شيدت من مكونات ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

يتم إنشاء مصفوفة القصور الذاتي من خلال النظر في الزخم الزاوي، مع النقطة المرجعية ${\displaystyle \mathbf {R} }$ من الجسم المختار ليكون مركز الكتلة ${\displaystyle \mathbf {C} }$ :[4][7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}}$

حيث تحتوي على الشروط ${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$ (${\displaystyle =\mathbf {C} }$) مجموعها إلى صفر من خلال تعريف مركز الكتلة.

ثم، مصفوفة الانحراف المتماثل ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ تم الحصول عليها من متجه الموقع النسبي ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$، يمكن استخدامها لتحديد،

${\displaystyle \mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$

أين ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ المعرفة من قبل

${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},}$

هي مصفوفة القصور الذاتي المتماثل للنظام الصلب للجسيمات المقاسة بالنسبة لمركز الكتلة ${\displaystyle \mathbf {C} }$.

يمكن صياغة الطاقة الحركية لنظام صلب من الجسيمات من حيث مركز الكتلة ومصفوفة من لحظات الكتلة من القصور الذاتي للنظام. دع نظام ${\displaystyle n}$ حبيبات ${\displaystyle P_{i},i=1,...,n}$ أن يكون موجودا في الإحداثيات ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ مع السرعات ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$، فإن الطاقة الحركية هي [4][7]

${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),}$

أين ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$ هو متجه موضع الجسيم بالنسبة إلى مركز الكتلة.

تتسع هذه المعادلة لتنتج ثلاثة شروط

${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).}$ المصطلح الثاني في هذه المعادلة هو صفر لأن ${\displaystyle \mathbf {C} }$ هي مركز الكتلة. قدم مصفوفة الانحراف المتماثل ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ لذلك تصبح الطاقة الحركية

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}}$

وبالتالي، يتم إعطاء الطاقة الحركية للنظام الصلب للجسيمات بواسطة

${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.}$ أين ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ هي مصفوفة القصور الذاتي بالنسبة إلى مركز الكتلة و ${\displaystyle M}$ هي الكتلة الكلية.

تظهر مصفوفة القصور الذاتي في تطبيق قانون نيوتن الثاني على تجميع صارم للجسيمات. عزم الدوران الناتج على هذا النظام هو، [4][7]

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},}$

أين ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ هو تسارع الجسيم ${\displaystyle P_{i}}$. والكينماتيكا هيئة جامدة ينتج صيغة لتسريع الجسيمات ${\displaystyle P_{i}}$ من حيث الموقف ${\displaystyle \mathbf {R} }$ والتسارع ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }}$ من النقطة المرجعية، وكذلك متجه السرعة الزاوية ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ومتجه التسارع الزاوي ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ للنظام الجامد مثل،

${\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.}$

استخدم مركز الكتلة ${\displaystyle \mathbf {C} }$ كنقطة مرجعية، وتقديم مصفوفة الانحراف المتماثل ${\displaystyle \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]}$ لتمثيل الضرب التبادلي ${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times }$، ليحصل

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}}$

يستخدم الحساب الهوية

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,}$

تم الحصول عليها من هوية Jacobi للمنتج الثلاثي كما هو موضح في الدليل أدناه:

برهان

${\textstyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+0)]\\&\;\;\;\;\;\ldots \;\mathbf {R} {\text{ is either at rest or moving at a constant velocity but not accelerated, or }}\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{the origin of the fixed (world) coordinate reference system is placed at the center of mass }}\mathbf {C} \\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{tangential}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\\end{aligned}}}$Then, the following Jacobi identity is used on the last term: ${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\end{aligned}}}$ The result of applying Jacobi identity can then be continued as follows: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}}$ The final result can then be substituted to the main proof as follows: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\quad \quad &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}}$ Notice that for any vector ${\displaystyle \mathbf {u} \,}$, the following holds: ${\displaystyle {\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}}$ Finally, the result is used to complete the main proof as follows: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}$